具体地，假设A是一个n×n的实矩阵，且A是可逆的。那么对于任意非零向量X，AX的结果也是一个非零向量，记为Y。因此，有X^T(A^TA)X = Y^TY，其中Y = AX。由于Y是非零向量，因此Y^TY &gt；0。这说明了X^T(A^TA)X &gt；0对于所有的非零向量X都成立。正定矩阵的一个重要特征是，对于任意非零向量X，有X^TAX &gt；0。我们通过上述过程证明了对于矩阵A^TA，同样满足这个条件。因此，可以明确地断言A^TA是正定矩阵。