对于任意n维非零向量X，由于矩阵A可逆，我们有AX≠0。进一步地，我们可以得到X^T(A^TA)X = (AX)^T(AX) > 0。这里利用了向量内积的非负性，且考虑到A为实矩阵。因此，可以得出结论，A^TA是正定矩阵。
具体地，假设A是一个n×n的实矩阵，且A是可逆的。那么对于任意非零向量X，AX的结果也是一个非零向量，记为Y。因此，我们有X^T(A^TA)X = Y^TY，其中Y = AX。由于Y是非零向量，因此Y^TY > 0。这说明了X^T(A^TA)X > 0对于所有的非零向量X都成立。
正定矩阵的一个重要特征是，对于任意非零向量X，有X^TAX > 0。我们通过上述过程证明了对于矩阵A^TA，同样满足这个条件。因此，可以明确地断言A^TA是正定矩阵。
进一步地，我们可以引入一些具体的例子来加深理解。比如，假设A是一个2×2的矩阵，A = [a b; c d]，其中a, b, c, d为实数。那么A的转置为A^T = [a c; b d]，A^TA = [a^2 + b^2, ac + bd; ac + bd, c^2 + d^2]。我们可以看到，A^TA是一个对称矩阵，且对于任意非零向量X = [x; y]，X^T(A^TA)X = x^2(a^2 + b^2) + 2xy(ac + bd) + y^2(c^2 + d^2)。由于A是可逆的，我们可以证明上述表达式总是大于0，这进一步验证了A^TA的正定性。
总结来说，通过上述分析和证明，我们可以得出结论，若矩阵A可逆，则A^TA必然是正定的。这一结论在数学和工程领域有着广泛的应用，特别是在线性代数和优化理论中。
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