我们知道，tanx的导数为sec^2x，即1/cos^2x。而4x的导数为4。因此，根据链式法则，tan4x的导数可以表示为4倍的sec^2(4x)。进一步地，可以将sec^2(4x)写为1/cos^2(4x)。这样，我们得到tan4x的导数为4倍的1/cos^2(4x)。如果我们进一步简化表达式，可以将1/cos^2(4x)写作(1/cosx)^2。因此，最终可以得出tan4x的导数为4(1/cosx)^2。这个结论可以应用于各种需要求解tan4x导数的数学问题中。例如，在求解与tan4x相关的极限问题、求解曲线的切线方程等问题时，这一结论都会非常有用。