主播有权要求粉丝不能录屏。通常情况下，主播对于直播内容的控制权是比较高的，可以要求粉丝不要录屏或进行其他形式的未经授权的内容保存和传播。这类要求常常是为了保护自身的权益，确保内容的质量和独特性。