家里新来的猫与原来的猫咪相处好的核心思想是：选择性格不同的猫，了解原猫咪的性格，避免纠纷；选性别不同的猫更容易和睦相处；对待两只猫公平一视，不偏心，避免伤害原猫咪的情感。主人需要留意猫咪的感受，避免引起不适，确保新朋友能被接受。