法律解析。持卡人死后透支消费不应该由继承人承担责任，被继承人的债务是指被继承人个人生前依法应该缴纳的税款、罚金以及应由他个人偿还的合法的财产性债务，持卡人死后透支消费不属于被继承人债务的范畴。【法律依据】。《中华人民共和国民法典》。第一千一百二十三条 继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。