在父母双亡、母亲健在的情况下，爷爷奶奶没有法定的抚养权。私生子女母亲不能放弃抚养权，也不能违反相关规定。如果母亲放弃抚养权，仍然需要履行抚养孩子的义务。父亲去世后，未成年子女的户口不能单户，可以落户到母亲户口所在地。父亲去世后遗产的分配如下：父亲的遗产范围包括个人婚前全部财产、婚后夫妻共同财产的一半，以及遗嘱内容。如果没有遗嘱，遗产将按法定继承顺序分配，第一顺序继承人包括父母、配偶和子女。法律分析；在父亲过世，母亲仍然健在的情况下，爷爷奶奶没有享有法定的抚养权。一、私生子女母亲放弃抚养权吗具体有什么规定。