齐次线性方程组的解行为其核心概念提供了深入理解。当一个齐次线性方程组只有零解时，这意味着该方程组具有唯一解，且这个唯一解就是零向量。这种情况下，系数矩阵A的秩r(A)等于未知数的个数n，表明A是一个满秩矩阵。反之，如果方程组有非零解，即存在不止一个非零解，这就意味着矩阵的秩r(A)小于未知数的个数n，表明矩阵并非满秩，可能存在无限多个解，这是通过将系数矩阵化简为阶梯型矩阵后，非零行数小于列数来判断的。值得注意的是，齐次线性方程组的性质还包括：任意两个解的线性组合仍然是解，解的任何倍数仍然是解。若系数矩阵的秩r(A)等于n，那么唯一的解就是零解；而当r(A)小于n时，方程组有无限多个解，这可以通过矩阵的行列式为零（克莱姆法则）来确认，此时方程组不是唯一零解，而是存在无数非零解的可能性。