事业单位第二名称需要刻到公章上。根据事业单位登记管理办法规定得知：对于事业单位而言，其公章应当包括中华人民共和国、事业单位的主体名称和公章字样，并可根据需要刻上单位的第二名称或其他标识，因此，事业单位的第二名称需要刻到公章上。事业单位的第二名称通常是指该单位除主体名称外使用的另一种名称，通常是为了方便单位内外沟通、宣传、推广等用途而设立的。