东亭附近打疫苗办狗证的地方为东亭社区卫生服务中心。可以前往无锡市惠山区东亭镇的东亭社区卫生服务中心，该中心可以提供疫苗接种和办理狗证的服务。具体地址为无锡市惠山区东亭镇东亭社区卫生服务中心（东亭镇太平南路77-1号）。