在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为 X × Y。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即 A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

假设集合 A={a, b}，集合 B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

举例

给出三个域：

D1 = { 张清玫，刘逸 }
D2 = {计算机专业，信息专业}
D3 = {李勇，刘晨，王敏}

则 D1，D2，D3 的笛卡尔积 D = D1×D2×D3，等于：

{
 (张清玫, 计算机专业, 李勇),
 (张清玫, 计算机专业, 刘晨),
 (张清玫, 计算机专业, 王敏),
 (张清玫, 信息专业, 李勇),
 (张清玫, 信息专业, 刘晨),
 (张清玫, 信息专业, 王敏),
 (刘逸, 计算机专业, 李勇),
 (刘逸, 计算机专业, 刘晨),
 (刘逸, 计算机专业, 王敏),
 (刘逸, 信息专业, 李勇),
 (刘逸, 信息专业, 刘晨),
 (刘逸, 信息专业, 王敏)
}

这样就把D1、D2、D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有 2X2X3=12 个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

PHP代码 - 输出数组形式

function Descartes()
{
 $t = func_get_args(); // 获取传入的参数
 if (func_num_args() == 1) { // 判断参数个数是否为1
 return call_user_func_array(__FUNCTION__, $t[0]); // 回调当前函数，并把第一个数组作为参数传入
 }
 $a = array_shift($t); // 将 $t 中的第一个元素移动到 $a 中，$t 中索引值重新排序
 if ( !is_array($a)) {
 $a = [$a];
 }
 $a = array_chunk($a, 1); // 分割数组 $a ，为每个单元1个元素的新数组
 do {
 $r = [];
 $b = array_shift($t);
 if ( !is_array($b)) {
 $b = [$b];
 }
 foreach ($a as $p) {
 foreach (array_chunk($b, 1) as $q) {
 $r[] = array_merge($p, $q);
 }
 }
 $a = $r;
 } while ($t);
 return $r;
}

使用：

$arr = [
 [
 '张清玫',
 '刘逸'
 ],
 [
 '计算机专业',
 '信息管理与信息系统专业',
 '电子商务专业'
 ],
 [
 '2018级',
 '2017级'
 ]
];
$r = Descartes($arr);

效果：

array(12) {
 [0]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(15) "计算机专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [1]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(15) "计算机专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
 [2]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(33) "信息管理与信息系统专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [3]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(33) "信息管理与信息系统专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
 [4]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(18) "电子商务专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [5]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(9) "张清玫"
 [1]=>
 string(18) "电子商务专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
 [6]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(15) "计算机专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [7]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(15) "计算机专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
 [8]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(33) "信息管理与信息系统专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [9]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(33) "信息管理与信息系统专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
 [10]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(18) "电子商务专业"
 [2]=>
 string(7) "2018级"
 }
 [11]=>
 array(3) {
 [0]=>
 string(6) "刘逸"
 [1]=>
 string(18) "电子商务专业"
 [2]=>
 string(7) "2017级"
 }
}