可以要求开车的司机承担损害赔偿责任。司机和乘客之间形成客运运输合同关系，司机有义务将乘客及时、安全地送至目的地。对于急刹车时的情况，若是在这之前司机已经做出了警示提醒，但是乘客由于自身原因没有注意而导致受伤的，则公交方可以不用承担赔偿责任，反之若是司机急刹情况属于突然行为，则公交方理应承担赔偿责任。若急刹车是第三人原因所导致的，司机可以找第三人进行追偿。
机关交通管理部门及其交通对道路交通安全违法行为，应当及时纠正。机关交通管理部门及其交通应当依据事实和本法的有关规定对道路交通安全违法行为予以处罚。对于情节轻微，未影响道路通行的，指出违法行为，给予口头警告后放行。公交公司承担赔偿责任，公交公司承担赔偿责任后，按照交警事故责任认定书的责任划分，可以向小车车主和保险公司进行追偿。车辆司机和车外车主有过错，乘客可以要求两者共同承担侵权责任和连带责任，两者按交通事故认定书的过错比例承担责任。
回答涉及到的法律依据：
《中华人民共和国道路交通安全法》第七十六条
机动车发生交通事故造成人身伤亡、财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿；交通事故的损失是由非机动车驾驶人、行人故意碰撞机动车造成的，机动车一方不承担赔偿责任。
《道路交通事故处理程序规定》第六十条
机关交通管理部门应当根据当事人的行为对发生道路交通事故所起的作用以及过错的严重程度，确定当事人的责任。
（一）因一方当事人的过错导致道路交通事故的，承担全部责任；
（二）因两方或者两方以上当事人的过错发生道路交通事故的，根据其行为对事故发生的作用以及过错的严重程度，分别承担主要责任、同等责任和次要责任；
（三）各方均无导致道路交通事故的过错，属于交通意外事故的，各方均无责任。一方当事人故意造成道路交通事故的，他方无责任。
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