父母双方协商一致变更孩子的抚养权是合法的，根据最高的解释。如果双方不能协商一致，但符合法定情形，如一方严重疾病、不履行抚养义务、虐待子女或子女愿意跟另一方生活等，可以申请变更抚养权。还可以征求未成年子女的意见。再婚并不是法定情形。申请变更抚养权时需要提供相应证据。

法律分析

情形一：父母双方协商一致变更孩子的抚养权。

李一和王一离婚时，把孩子判给了王一，可是由于王一工作的原因，对孩子照顾不周，于是王一找到李一，提出来希望可以变更孩子的抚养权，让李一来抚养孩子，李一欣然同意，于是王一和李一协议变更了孩子抚养关系。

根据最高人民关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释(一)第五十七条规定：父母双方协议变更子女抚养关系的，人民应予支持。

情形二：父母双方不能协商不一致，但有符合变更抚养权的法定情形。

周一和孙一离婚时，9岁的儿子判给了周一，可是离婚后，周一对孩子不管不顾，还有了酗酒的毛病，每次喝多了对儿子非打即骂，在孙一看望儿子时，儿子提出想跟着孙一生活的想法，可是当孙一和周一提出变更抚养权的时候，周一不同意，于是孙一去起诉变更抚养权。

法律依据：

根据最高人民关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释(一)第五十六条规定：

(一)与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女;

(二)与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响;

(三)已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力;(四)有其他正当理由需要变更。

除了这两种情况外，《北京市高级人民关于审理婚姻纠纷案件若干疑难问题的参考意见》还规定：对于年满六周岁未满十周岁的未成年子女，人民处理抚养问题时，也可根据案情征求未成年子女的意见。人民征求未成年子女意见一般应单独进行，避免父母在场对子女选择产生影响。

同时也要注意，只有在符合上述情形，或者其他正当理由的情况下，双方才可以要求变更孩子的抚养权，抚养子女的一方已经再婚，并不是申请变更抚养权的法定情形。另外，在提出变更抚养权的同时，还要提供相应的证据证明，才可以变更孩子的抚养权。

结语

根据最高的相关解释，情形一中父母双方协商一致变更孩子的抚养权，应予支持。情形二中，如果符合法定情形，如一方因疾病或虐待子女等原因无法继续抚养，另一方有抚养能力且子女愿意随其生活，可以申请变更抚养权。此外，未成年子女的意见也应该被征求。需要注意的是，只有在符合相关条件并提供证据的情况下，才可以申请变更抚养权。

法律依据

中华人民共和国未成年人保（2020修订）：第二章 家庭保护 第二十四条 未成年人的父母离婚时，应当妥善处理未成年子女的抚养、教育、探望、财产等事宜，听取有表达意愿能力未成年人的意见。不得以抢夺、藏匿未成年子女等方式争夺抚养权。

未成年人的父母离婚后，不直接抚养未成年子女的一方应当依照协议、人民判决或者调解确定的时间和方式，在不影响未成年人学习、生活的情况下探望未成年子女，直接抚养的一方应当配合，但被人民依法中止探望权的除外。

中华人民共和国老年益保障法（2018修正）：第二章 家庭赡养与扶养 第二十一条 老年人的婚姻自由受法律保护。子女或者其他亲属不得干涉老年人离婚、再婚及婚后的生活。

赡养人的赡养义务不因老年人的婚姻关系变化而消除。

中华人民共和国老年益保障法（2018修正）：第二章 家庭赡养与扶养 第十三条 老年人养老以居家为基础，家庭成员应当尊重、关心和照料老年人。