单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式_122标准正交基标准正交基33同构同构44正交变换正交变换11定义与基本性质定义与基本性质66对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形88酉空间介绍酉空间介绍77向量到子空间的向量到子空间的距离距离最小二乘法最小二乘法小结与习题小结与习题
第九章
第九章欧氏空间欧氏空间55子空间子空间9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离
二、最小二乘法
二、最小二乘法9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离1.向量间的距离长度称为向量和的距离，基本性质(i)(ii)并且仅当的等号才成立；(iii)(三角形不等式)
一、
一、向量到子空间的距离向量到子空间的距离定义记为9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离2.向量到子空间的距离(1)设为一固定向量，如果与子空间中每个向量垂直，称垂直于子空间记作如果则注注::9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.如图示意，对给定，设是中的满足的向量，则对有9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离因是子空间，则由勾股定理证明：故所以9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离
二、
二、最小二乘法最小二乘法问题提出:实系数线性方程组(1)即任意都可能使(2)不等于零可能无解，9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离设法找实数组使(2)最小,这样的为方程组(1)的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设(3)9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离用距离的概念，(2)就是由(3),设则要找使(2)最小，等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短.9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离设这等价于(4)即这样(4)等价于(5)为此必或这就是最小二乘解所满足的代数方程.9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：找出对的一个近似公式.例题9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线因此我们决定选取的一次式来表达当然最好能选到适当的使得下面的等式解：都成立.9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离实际上是不可能的任何代入上面各式都发生些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方和最小，即找使最小.易知9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离最小二乘解所满足的方程就是9.79.7向量到子空间的距离向量到子空间的距离解得(取三位有效数字).即为
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