在公交车上由于急刹车导致乘客摔倒受伤，应该由公交公司承担相应责任。根据法律的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担损害赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。
公共汽车司机的工作内容是什么？
公交车司机做好自己的职责十分重要，关系到乘客的用户体验甚至乘客的生命安全，司机主要职责包括以下几方面：
1、在发动机发动之前，应严格按照例行保养规定项目，作好出车前的检视工作。
2、在公交车起动前，应先检查变速杆是否空档，手制动杆应拉紧。如汽车停在陡坡上起动，须使用三角木或石块塞住后轮。
3、在炎热、常温、低温三种情况下，应按具体操作要点与规定起动发动机。
4、发动机起动后，温度达到50-60度，经检查，低、中、高速运转及声响和各种仪表工作正常，气压表读数符合规定，并没有焦臭气味与漏油、水等情况下，方可准备起步。
5、起步前，须先检查车旁周围和车下有无人、畜和障碍物，并关好车门。
6、起步时应先挂档，后松手制动器，并能过后视镜看后面有无来车，再缓抬离合器，适当加油，鸣号徐徐起步。夜间，浓雾天气及视线不清时，须同时开放前后灯。
7、起步时，松离合器与踏加速踏板的动作要配合恰当，以求平稳，避免有冲撞、跳动、熄火以及车轮转滑转等情况发生。
法律依据：
《民法典》
第八百二十三条承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任;但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。
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