2011届本科毕业论文
二阶变系数齐次常微分方程的
解法及其应用
所在学院：数学科学学院
专业班级：数学07-(4)实验班
学生姓名：曼则热古丽．图尔荪
指导教师：吐尔洪.艾尔米丁
答辩日期：2011年5月11日
师范大学教务处
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
摘要: 本文研究了二阶变系数线性常微分方程的几种求解方法。首先给出了微分方程的一些基本概念，
讲述了变系数线性常微分方程的解法。随后详细给出了一个求二阶变系数齐次线性常微分方程的一般求解法的实例，该实例来学习掌握二阶变系数齐次常微分方程的解法。
关键词:二阶变系数齐次线性微分方程；二阶变系数非齐次线性微分方程；通解；常数变易法；
二阶变系数齐次常微分方程的解法
及其应用
引言
二阶变系数齐次常微分方程在微分方程理论中占有重要位置。在许多实际问题中，常常将某些问题化成为二阶变系数线性微分方程，因此有必要研究这类方程的解法及其特性。本文利用常数变易法和构造法来在求二阶变系数线性微分方程的通解的一般方法上进行讨论，诣在解决二阶变系数线性微分方程求解的问题，并提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要，为以后的方程求解工作奠定了基础。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用
二阶线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置。 关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解变系数微分方程却无一般方法。下面我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程
（1）
本文将探讨方程（1）当（其中为常数）的通解求法及通解公式。
为求二阶变系数齐次线性微分方程（1）通解，我们先求二阶常系数齐次线性微分方程
（2）
（其中a,b,c为常数，a≠0）的通解。
由二阶齐次线性微分方程通解结构定理可知，欲求（2）的通解，关键是求方程（2）的两个线性无关的特解。根据求导经验，指数函数（为常数）的各阶导数是同类型的函数，仅相差一个常数因子。由此我们用来尝试，看能否选取适当的常数,使满足方程（2）。
对求导可得：
，
而，故有
（3）
若是方程(3)的一个解，则必是方程(2)的一个解. 因此我们很容易得到方程(2)的通解。
方程(1)与方程(2)结构类似，不同的是方程(1)是变系数，方程(2)是常系数，而常系数是变系数的特例.按照类比的方法，我们猜想方程(1)具有特解，看应该满足何种条件.
将，，代入方程（1），得：
因, 所以必有
(4)
需注意的是，上式对方程有意义的一切恒成立，这意味着此时对变系数，有较大的.
对已知的，如果存在常数恒有(4)式成立，则方程(1)必有特解.下一步是找方程(1)的与线性无关的是另一特解，这自然使我们想到常数变易法.
设是方程（1）的特解，且常数 则
，
，
将代入方程（1），整理可得：
而，所以
（5）
方程（5）不含项，是可降阶的二阶线性齐次微分方程。令，于是（5）式可化为：
，
解之得：（注：约定积分不含积分常数C）,则
.
由于，则其不定积分不为常数，即，故方程（1）的两个特解线性无关，从而方程（1）此时的通解为（ 其中为任意常数）。
综上所述，我们可得如下结论：
命题：二阶变系数齐次线性微分方程满足条件（其中为常数），则该方程的通解的积分公式为：
（6）
解题时，我们既可按照上述方法进行常数变易，求其通解，也可按公式（6）求出通解。
例 1 解方程：
解：这里
假设，即
因为r为常数，所以,由此得方程的一个特解，
再设为所求方程的另一特解，则
，
，
将代入所给方程，化简得：
，
解之得：，
由于方程为齐次线性方程，故去掉系数后仍是其特解，且与线性无关，于是方程的通解为：
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用
设二阶变系数的齐次及非齐次方程分别是
(A)
和
(B)
这里总是假设在某一区间上连续。求解方程（A）或（B）有如下两个方法。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程
我们知道，对于二阶常系数齐次线性微分方程可通过特征方程法求线性无关的特解, 然后根据微分方程解的性质得其通解,那么二阶变系数齐次线性微分方程怎么求解? 二阶变系数齐次线性微分方程由于系数变化,特征方程法失效,现有的讨论和阐述很少,为此我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程:
(A)
若为方程(A)的一个特解,则( C 为任意常数) 也是方程(A) 的解,变易常数, 设方程(A)的与线性无关的解为, 其中为待定函数,则代入方程(A) 得:
因为方程(A)的一个特解,化简得:
这是一个可降阶的微分方程,令得：
变量分离得
积分得 所以
例2已知是二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解,求另一线性无关的特解,并写出其通解.
解: 利用变系数微分方程(A)的特解, 得另一线性无关的特解为:
所以原方程的通解为：y =(+)e
其中，为任意常数。
例3 求解.
解： ，利用常数变易法 ，则所求通解为
一般的若已知二阶齐次线性微分方程的一个特解（对某些方程可用观察法或分析法确定），利用常数变易法设另外的特解，代入原方程后可得到一个可降阶的微分方程，从而求得原方程的通解，这一方法可类似用于高阶微分方程的求解.
2.2未知函数代换
令，则方程（B）化为
（1）
为消除它的一阶导数项，令
即
积分得到，于是方程（1）便化成
（2）
其中；
当（常数）时，则由（2）有
（3）
这是常系数线性方程。
当，则由（2）有
（4）
这是欧拉方程，于是我们得到如下结论：
定理1 令，并做变换，则当和时，原方程（B）分别化成方程（3）和（4） 。
例4 求解贝塞尔（Bessel）方程.
解： 我们有,做变换
则由（3）得到
，
从而
故原方程通解为
例5 求解 .
解：我们有，做变换.由（4）得到
，
这是欧拉方程.令，则有
故所求的解为：
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用
已知二阶变系数线性微分方程
（1）
对该方程而言，只要能求出二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解，则二阶变系数线性齐次或非齐次微分方程的解即可求得。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法
假设二阶变系数非齐次线性微分方程中具有一阶连续的导数，连续.
令 （2）
（3）
则方程（1）变形为
（4）
即
令
（5）
那么原方程（1）就化简为
解之得
将之代入（5）式，则方程（1）通过上述变换可降阶为
此一阶线性非齐次微分方程的解就是我们所要求的二阶变系数非齐次线性微分方程的解。
而方程
的解为
即
（6）
故式（6）为二阶变系数非齐次线性微分方程
的通解公式。
另外，由（2）式又得
或
将其代入（6）式可得二阶变系数非齐次线性微分方程（1）通解的另两种形式为
(7)
或
(8)
特别的1. 当时,方程（1）就转化为二阶变系数齐次线性微分方程，而式（6），（7），（8）分别为
(9)
(10)
(11)
它们是对应的二阶变系数齐次线性微分方程为
的通解公式。
注意: 以上的求解过程或方式就是二阶变系数线性微分方程的求解方法, 公式( 6) ，(7 ) ，( 8) 均为二阶变系数非齐次线性微分方程的通解公式. 公式(9 ) ，(10 ) ，( 11) 均为二阶变系数齐次线性微分方程的通解公式。
3.2应用
运用二阶变系数线性微分方程的一般求解法在求二阶变系数线性微分方程的解时, 其重点是构造（2）和（3）式, 难点或关键点是从（2）式和（3）式求出. 或由（2）式和（3）式变形得
（12）
和
（13）
再从中求得. 然后用上述方法或应用公式（6）或（7） 或（8）或公式（9）或（10）或（11）可求得二阶变系数线性微分方程的解.
求二阶变系数线性微分方程解时， 必须观察二阶变系数线性微分方程的特征。 如果是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程,就用特殊类型的二阶变系数线性微分方程的求解方法求之； 如果不是上述特殊类型的二阶变系数线性微分方程， 就用二阶变系数线性微分方程的一般求解方法求之。
二阶变系数线性微分方程的一般求解步骤：
第一步: 构造（2） 式和（3）式.
第二步: 计算出.
第三步: 将第二步的结果代入上述公式求出通解来.
例6 求的通解.
解：由方程特征可知则
的通解为:
注意: 对于常系数齐次线性微分方程的通解往往用特征根的方法求其通解。 如果用以上降价法解常系数齐次线性微分方程的解更不成问题，但较特征根法烦琐一些。
例7求的通解.
解：
又知由以上公式，所求方程的通解为
特征根法：特征方程有两个相等的实数根则所求方程的通解为：
4 总结
本文利用积分公式，常数变易法和构造法在求二阶变系数线性微分方程的通解的一般方法上进行探讨，解决二阶变系数线性微分方程求解的问题，并得出成规求解的方法与结论。通过例题加深了对二阶变系数齐次线性微分方程的求法的了解。
参考文献
[1]李永利.桑改莲 一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法[J]-高等数学研究 2006，9（3）.
[2]袁相碗，徐洪义，包雪松，常微分方程[M]. 南京：南京大学出版社.1994.
[3]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社.
致谢
大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，吐尔洪老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.
同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.
到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对吐尔洪老师表示最诚挚的谢意和祝福！
