数学试卷
（本试卷共三大题，共4页，满分120分，考试用时120分钟）
姓名： 班级： 成绩：
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子，，，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3
4．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD
(第4题图） （第6题图） （第8题图）
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a5
6．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（ ）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
8.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．45° C．36° D．30°
9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（ ）
A．0 B．2a C．2b D．2ab
10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）= ．
12．计算：（x﹣1+）÷= ．
13．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，∠D=40°， 则∠B+∠C 为 ．
14．分式方程﹣1=的解是 ．
15. 要使分式有意义，那么必须满足 .
16．等腰三角形的两条边长分别为8cm和6cm，则它的周长是______cm.
三、解答题（共72分）
17．计算题：（本题共2小题，每小题6分，共12分）
18．（本题10分）如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．求证：∠B=∠E．
19.（本题10分）如图，点D是△ABC边BC上一点，AD=BD，且AD平分∠BAC。
（1）若∠B=50°，求∠ADC的度数；
（2）若∠C=30°，求∠ADC的度数；
20．解下列分式方程（本题共2小题，每小题5分，共10分）
（1） （2）
21.（本题10分）一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行km所用时间相等，江水的流速为多少？
22．（本题共2小题，每小题5分，共10分）观察下列各式： =﹣； =； =； =﹣；…．
（1）猜想它的规律：把表示出来： = ．
（2）用你猜想得到的规律，计算： ++++…++．
23．（本题共2小题，每小题5分，共10分）在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．
（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
八年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
2．在式子，，，中，分式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
【分析】判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
【解答】解：，的分母都有字母，故都是分式，其它的都不是分式，
故选：B．
3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可．
【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；
5+6=11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；
5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意；
1+2=3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意，
故选：C．
4．如图，AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法确定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．BC=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、AB=AD、AC=AC、BC=CD，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B、AB=AD、∠BAC=∠DAC、AC=AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
C、AB=AD、AC=AC、∠B=∠D=90°，符合全等三角形的判定定理HL，能推出△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D、AB=AD、AC=AC、∠ACB=∠ACD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3=2a3 B．a0÷a3=a﹣3 C．（ab2）3=ab6 D．（a3）2=a5
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a3•a3=a6故A不符合题意；
B、a0÷a3=a﹣3，故B符合题意；
C、积的乘方的乘方等于乘方的积，故C不符合题意；
D、底数不变指数相乘，故D不符合题意；
故选：B．
6．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
7．下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（ ）
A．乙和丙 B．甲和乙 C．甲和丙 D．只有甲
【考点】全等三角形的判定．
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；
在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选：A．
8．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（ ）
A．70° B．45° C．36° D．30°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=，
可得2x=，
解得：x=36°，
则∠A=36°，
故选C．
9．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（ ）
A．0 B．2a C．2b D．2ab
【考点】整式的混合运算．
【分析】首先进行乘法运算，化简整式方程，然后，把ab=ab+a+b代入化简即可．
【解答】解：∵a*b=ab+a+b，
∴原式=a（﹣b）+ab
=﹣ab+ab=﹣（ab+a+b）+（ab+a+b）
=﹣ab﹣a﹣b+ab+a+b
=0
故选A．
10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+）的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考点】分式的混合运算．
【分析】由已知得：a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，再将所求的式子去括号后，同分母加在一起，分别将所求的式子整体代入约分即可．
【解答】解：∵a+b+c=0，
∴a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，
a（+）+b（+）+c（+），
=+++++，
=++，
=++，
=﹣1﹣1﹣1，
=﹣3，
故选D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若a+b=，且ab=1，则（a+2）（b+2）= 12 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘多项式的法则把式子展开，再整体代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b=，且ab=1，
∴（a+2）（b+2）=ab+2（a+b）+4=1+7+4=12．
故答案为：12．
12．计算：（x﹣1+）÷= x+1 ．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后约分即可．
【解答】解：原式=[+]÷
=•
=x+1，
故答案为：x+1．
13．230°
14．分式方程﹣1=的解是 x=﹣1 ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+3x﹣x2﹣2x+3=2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
故答案为：x=﹣1
15．x≠0
16．20或22
三、解答题（共72分）
17.（1）解：原式=-------------------------------------------------------------------3分
=．----------------------------------------------------------------------------- 3分
（2）解：原式=-------------------------------------------------------1分
=--------------------------------------------------------2分
=．---------------------------------------------------------------------- 3分
18．如图，点C．F，A，D在同一条直线上，CF=AD，AB∥DE，AB=DE．
求证：∠B=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】首先得出AC=DF，利用平行线的性质∠BAC=∠EDF，再利用SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【解答】证明：∵CF=AD，
∴CF+AF=AD+AF，
∴AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
19.
.
20题解析：
21．一艘轮船在静水中的最大航速为32km/h，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行km所用时间相等，江水的流速为多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设江水的流速为Vkm/h，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速﹣水流速．根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行千米所用时间相等，列方程求解．
【解答】解：设江水的流速为Vkm/h，
根据题意可得： =，
解得：V=6.4，
经检验：V=6.4是原分式方程的解，
答：江水的流速为6.4km/h．
22．观察下列各式： =﹣； =； =； =﹣；…．
（1）猜想它的规律：把表示出来： = ．
（2）用你猜想得到的规律，计算： ++++…++．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【分析】（1）根据所给式子发现=；
（2）将++++…++化为+…++，再利用所给规律化简即可．
【解答】解：（1）∵=﹣； =； =； =﹣；
…
∴=；
故答案为：；
（2）∵=﹣； =； =； =﹣；…=；
∴++++…++=+…++，
=1+…
=1
=．
23．在等边△ABC的外侧作直线BD，作点A关于直线BD的对称点A′，连接AA′交直线BD于点E，连接A′C交直线BD于点F．
（1）依题意补全图1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，若60°＜∠ABD＜90°，判断直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是否为定值？若是，求出这个锐角的度数；若不是，请说明理由．
【考点】作图﹣轴对称变换；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据题意可以作出相应的图形，连接A′B，由题意可得到四边形AA′BC是菱形，根据菱形的对角线平分每一组对角，可以得到∠BFC的度数；
（2）画出相应的图形，根据对称的性质可以得到相等的线段和相等的角，由等边△ABC，可以得到BC=BA，然后根据三角形内角和是180°，可以推出直线BD和A′C相交所成的锐角的度数，本题得以解决．
【解答】解：（1）补全的图1如下所示：
连接BA′，
∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等边三角形，
∴△BA′A是等边三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，
∴四边形AA′BC是菱形，
∵∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°；
（2）直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，若下图所示，
连接AF交BC于点G，
由已知可得，BA′=BA，BA=BC，FA′=FA，
则∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，
∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，
∴∠BCA′=∠FAB，
∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，
∴∠CFA=∠ABC=60°，
∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，
∴∠A′FD=60°，
即直线BD和A′C相交所成的锐角的度数是定值，这个锐角的度数是60°．
