| 姓名 | 马震 | 学号 | 20073492 | 班级 | 软0708班 |
| 问题：.（蒙特卡洛方法） 求出四分之一圆占正方形的比例。随机投点P(x,y)于正方形，π/4的近似值为落在四分之一圆内的点数与总投点数的比值。随机投点次数分别为10000次和50000次，计算π的近似值。 | |||||
| 问题的分析和假设： 蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。 而在本题中，向一个边长为单位长度的正方形内随机投点P（x,y）, π/4的近似值为落在四分之一圆内的点数与总投点数的比值。这是计算机模拟π的近似值的关键如在。 | |||||
| 建模：1圆的圆心落在正方形的一个顶点上。 2圆的半径为单位长度，此时圆的面积为π。 3圆的面积的四分之一落在正方形内，向单位正方形内随投点，则落入四分之一圆中的点的数量与总投点数的比值即为π/4的近似值。该过程运用计算机产生随机数进行模拟。 4可求得π的近似值为计算机模拟产生的数值的4倍。
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当随机投点次数为1000时：
m=0;
n=50000; %完成对随机投点次数n=1000的模拟后，令n=50000再进行模拟
for k=1:n
x=unifrnd(0,1);
y=unifrnd(0,1);
if x^2+y^2<=1
m=m+1;
else
end
end
| p=4*(m/n) |
| 计算结果与问题分析讨论： 计算结果: 当n=10000时，进行多次运算结果为： p =3.1196 p =3.1244 p =3.1420 p =3.1780 p =3.1468 p =3.1208 p=3.1232 当n=50000时，进行多次运算结果为： p =3.1443 p =3.1456 p =3.1387 p =3.1535 p =3.1470 p =3.1354 p=3.1406 问题的分析讨论： 1．由计算机模拟产生的随机数是没有规律的。 2．当试验的次数比较少的时候，多次模拟出的结果波动性较大，大部分模拟值与真实值相差较大。 3．当试验的次数比较多的时候，多次模拟出的结果相差不大，绝大部分模拟值与真实值相差较小。 以上充分说明了计算机模拟的特性，并进一步阐述了概率的原理，可见计算机模拟对解决实际问题有重要作用。 |
