期末考试试卷
课程名称 实变函数 课程编号 83410014
任课教师
| 题型 | 判断题 | 叙述题 | 计算题 | 解答题 | 总分 |
| 分值 | 15 | 15 | 10 | 60 | 100 |
| 得分 |
共5小题，每题3分，共5×3=15分）
1、设 则集合是可数集合。 （ ）
2、Cantor 集是中无处稠密的完备集合。 （ ）
3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。 （ ）
4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。 （ ）
5、若是上的有界变差函数，则。 （ ）
二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)
1、Bernstein 关于两集合对等的定理
2、中开集的构造定理
3、Lusin定理
4、Fubini定理
三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）
设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：
求 。
四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）
1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。
2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。
3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。
4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明：
（1）若于，则存在上的非负简单函数列使得；
（2）存在上的简单函数列使得。
5、设，证明若在上，则。
6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明：
（1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。
（2）存在可测集，使得且。
华中师范大学 2008 –2009 学年第一学期
期末考试试卷解答
课程名称 实变函数 课程编号 83410014
任课教师
| 题型 | 判断题 | 叙述题 | 计算题 | 解答题 | 总分 |
| 分值 | 15 | 15 | 10 | 60 | 100 |
| 得分 |
1、设 则集合是可数集合。 （ × ）
2、Cantor 集是中无处稠密的完备集合。 （ √ ）
3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。 （ √ ）
4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。 （ × ）
5、若是上的有界变差函数，则。 （ × ）
二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)
1、Bernstein 关于两集合对等的定理
答：Bernstein定理：若是两集合，如果存在的子集，的子集，使，则.
2、中开集的构造定理
答：（1）中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集，反之亦真。
（2）中非空开集是可数个互不相交的半开半闭区间并集。
3、Lusin定理
答：设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则，存在闭子集使在上连续，且。
4、Fubini定理
答：设在上可积，则
（1）对几乎所有的,作为 的函数在上可积；
（2）在上可积；
（3）
5、有界闭区间上绝对连续函数的定义
答：设定义于上，如果对于任意的>0，使于上的任意一组分点，只要，便有，
则称为上的绝对连续函数.，或说在上绝对连续。
三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）
设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：
求 。
解：因从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue 可积且
由于几乎处处于，故由积分的基本性质
四、解答题（共6小题，每题10分
，共6×10 = 60分）
1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。
证：因是 集，所以存在中的一列开集{}，使得。而，故，令=，
则显然{}是包含于单调下降的开集列且G=。
2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。
证：由Egoroff定理知
可测集，使得在上一致收敛于，而。
于是，对任何正整数，取，则存在可测集，使得在每个上一致收敛于，而。因为，故
从而。
3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。
证：对任意实数，我们有
显然和是上的可测集。而
由于都是上的非负可测函数，故和可测，从而
也可测。于是都可测，故是上的可测函数。
4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明：
（1）若于，则存在上的非负简单函数列使得；
（2）存在上的简单函数列使得。
证：（1）因为非负可测，故在上存在非负简单函数列，使得。而
，
故由Lebesgue控制收敛定理知。
(2) 设分别是的正部和负部，则在上都非负可积，从而应用（1）的结论知，存在上的非负简单函数列和，使得
令, 则是上的简单函数，且由不等式
知。
5、设，证明若在上，则。
证： 先设，则由定义知，即
现任给，若，则，从而
若则取，此时
从而也有 故于。
由于，，
由Lebesgue有界收敛定理知
。
6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明：
（1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。
（2）存在可测集，使得且。
证：（1）设，记，
则 且在上单调递增，而
因为在上可积，由积分的绝对连续性知，当时，
，从而。
于是在上是连续函数。
（2）因在闭区间上连续，故由介值定理知存在使得
记，则
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