一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（ ）
| A． | 6 | B． | ﹣6 | C． | 1 | D． | 0 |
2．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（ ）
| A． | 3x﹣2x=x | B． | 2x•3x=6x | C． | （2x）2=4x | D． | 6x÷2x=3x |
3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
| A． | 25台 | B． | 50台 | C． | 75台 | D． | 100台 |
5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
| A． | 2海里 | B． | 2sin55°海里 | C． | 2cos55°海里 | D． | 2tan55°海里 |
6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
| A． | m+2＞n+2 | B． | 2m＞2n | C． | ＞ | D． | m2＞n2 |
7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（ ）
| A． | a＞b | B． | a=b | C． | a＜b | D． | 不能判断 |
8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
| A． | 40° | B． | 60° | C． | 70° | D． | 80° |
9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
| A． | 1：2 | B． | 1：3 | C． | 1： | D． | 1： |
10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•南充）计算﹣2sin45°的结果是 ．
12．（3分）（2015•南充）不等式＞1的解集是 ．
13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是 度．
14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．
18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．
（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？
19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
21．（8分）（2015•南充）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．
23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
2015年四川省南充市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（ ）
| A． | 6 | B． | ﹣6 | C． | 1 | D． | 0 |
| 考点： | 有理数的加法．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据有理数的加法运算法则计算即可得解． |
| 解答： | 解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0． ∴3+（﹣3）=0． 故选D． |
| 点评： | 本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． |
2．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（ ）
| A． | 3x﹣2x=x | B． | 2x•3x=6x | C． | （2x）2=4x | D． | 6x÷2x=3x |
| 考点： | 整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法计算即可． |
| 解答： | 解：A、3x﹣2x=x，正确； B、2x•3x=6x2，错误； C、（2x）2=4x2，错误； D、6x÷2x=3，错误； 故选A． |
| 点评： | 此题考查同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法，关键是根据法则计算． |
3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 简单几何体的三视图．菁优网版权所有 |
| 分析： | 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． |
| 解答： | 解：根据主视图的定义，可得它的主视图为：， 故选：A． |
| 点评： | 本题考查三视图的有关知识，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解． |
4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
| A． | 25台 | B． | 50台 | C． | 75台 | D． | 100台 |
| 考点： | 一元一次方程的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | 设今年购置计算机的数量是x台，根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍列出方程解得即可． |
| 解答： | 解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台， 根据题意可得：x=3（100﹣x）， 解得：x=75． 故选C． |
| 点评： | 此题考查一元一次方程的应用，关键是根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍列出方程． |
5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
| A． | 2海里 | B． | 2sin55°海里 | C． | 2cos55°海里 | D． | 2tan55°海里 |
| 考点： | 解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里． |
| 解答： | 解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=55°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里， ∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键． |
6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ）
| A． | m+2＞n+2 | B． | 2m＞2n | C． | ＞ | D． | m2＞n2 |
| 考点： | 不等式的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D． |
| 解答： | 解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． |
| 点评： | 本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 |
7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（ ）
| A． | a＞b | B． | a=b | C． | a＜b | D． | 不能判断 |
| 考点： | 几何概率．菁优网版权所有 |
| 分析： | 分别利用概率公式将a和b求得后比较即可得到正确的选项． |
| 解答： | 解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分， ∴a==， ∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b=， ∴a=b， 故选B． |
| 点评： | 本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a、b的值，难度不大． |
8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
| A． | 40° | B． | 60° | C． | 70° | D． | 80° |
| 考点： | 切线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数． |
| 解答： | 解：连接OB， ∵AC是直径， ∴∠ABC=90°， ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=180°﹣∠P=140°， 由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°， 故选C． |
| 点评： | 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，利用直径对的圆周角是直角来解答． |
9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）
| A． | 1：2 | B． | 1：3 | C． | 1： | D． | 1： |
| 考点： | 菱形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案． |
| 解答： | 解：如图，设AC，BD相较于点O， ∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB=BC=2cm， ∵高AE长为cm， ∴BE==1（cm）， ∴CE=BE=1cm， ∴AC=AB=2cm， ∵OA=1cm，AC⊥BD， ∴OB==（cm）， ∴BD=2OB=2cm， ∴AC：BD=1：． 故选D． |
| 点评： | 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直． |
10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
| 考点： | 根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解． |
| 解答： | 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， y1+y2=﹣2n＜0， x1+x2=﹣2m＜0， 这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有： △=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0， 4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0， m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2， （m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确； ③∵y1+y2=﹣2n，y1•y2=2m， ∴2m﹣2n=y1+y2+y1•y2， ∵y1与y2都是负整数， 不妨令y1=﹣3，y2=﹣5， 则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误， 其中正确的结论的个数是2， 故选C． |
| 点评： | 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结． |
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•南充）计算﹣2sin45°的结果是 ．
| 考点： | 实数的运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可． |
| 解答： | 解：﹣2sin45° =2﹣2× =． 故答案为：． |
| 点评： | 此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键． |
12．（3分）（2015•南充）不等式＞1的解集是 x＞3 ．
| 考点： | 解一元一次不等式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 利用不等式的基本性质来解不等式． |
| 解答： | 解：去分母得：x﹣1＞2， 移项得：x＞3， 所以不等式的解集是：x＞3． 故答案为：x＞3． |
| 点评： | 本题考查了解简单不等式的能力． 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． |
13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是 60 度．
| 考点： | 三角形的外角性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可． |
| 解答： | 解：∵∠ACD=∠B+∠A， 而∠A=80°，∠B=4°， ∴∠ACD=80°+40°=120°． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=60°， 故答案为60 |
| 点评： | 本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和． |
14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
| 考点： | 概率公式．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案． |
| 解答： | 解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、， ∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：． 故答案为：． |
| 点评： | 本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于2的数个数和正确运用概率公式是解题的关键． |
15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ﹣1 ．
| 考点： | 二元一次方程组的解．菁优网版权所有 |
| 分析： | 将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出k的值． |
| 解答： | 解：解方程组得：， 因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， 可得：2k+3﹣2﹣k=0， 解得：k=﹣1． 故答案为：﹣1． |
| 点评： | 此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值． |
16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是 ①②④ （填写序号）
| 考点： | 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 |
| 专题： | 推理填空题． |
| 分析： | ①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1； ②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值； ③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值； ④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得==，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值． |
| 解答： | 解：正确结论是①②④． 提示：①连接OQ，OD，如图1． 易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP． 结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD， 则有DQ=DA=1． 故①正确； ②连接AQ，如图2． 则有CP=，BP==． 易证Rt△AQB∽Rt△BCP， 运用相似三角形的性质可求得BQ=， 则PQ=﹣=， ∴=． 故②正确； ③过点Q作QH⊥DC于H，如图3． 易证△PHQ∽△PCB， 运用相似三角形的性质可求得QH=， ∴S△DPQ=DP•QH=××=． 故③错误； ④过点Q作QN⊥AD于N，如图4． 易得DP∥NQ∥AB， 根据平行线分线段成比例可得==， 则有=， 解得：DN=． 由DQ=1，得cos∠ADQ==． 故④正确． 综上所述：正确结论是①②④． 故答案为：①②④． |
| 点评： | 本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用． |
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．
| 考点： | 分式的混合运算．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可． |
| 解答： | 解：（a+2﹣）• =[﹣]× =× =﹣2a﹣6． |
| 点评： | 此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键． |
18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．
（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？
（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？
| 考点： | 扇形统计图；用样本估计总体．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案． |
| 解答： | 解：（1）乘公交车所占的百分比=， 调查的样本容量50÷=300人， 骑自行车的人数300×=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人； （2）九年级骑自行车的人数2000×≈667人， 667＞400， 故学校准备的400个自行车停车位不足够． |
| 点评： | 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． |
19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | （1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论． |
| 解答： | 证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠CFD=∠B， ∵∠CFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠B 在△AEF与△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2CD， ∵△AEF≌△CEB， ∴AF=BC， ∴AF=2CD． |
| 点评： | 本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． |
20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
| 考点： | 根的判别式．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可； （2）要是方程有整数解，那么x1•x2=4﹣p2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解． |
| 解答： | 解；（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0， ∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有整数解， ∴x1•x2=4﹣p2为整数即可， ∴当p=0，±1时，方程有整数解． |
| 点评： | 本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键． |
21．（8分）（2015•南充）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．
| 考点： | 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）把A（1，2k﹣1）代入y=即可求得结果； （2）根据三角形的面积等于3，求得点B的坐标，代入一次函数y=mx+b即可得到结果． |
| 解答： | 解：（1）把A（1，2k﹣1）代入y=得， 2k﹣1=k， ∴k=1， ∴反比例函数的解析式为：y=； （2）由（1）得k=1， ∴A（1，1）， 设B（a，0）， ∴S△AOB=•|a|×1=3， ∴a=±6， ∴B（﹣6，0）或（6，0）， 把A（1，1），B（﹣6，0）代入y=mx+b得：， ∴， ∴一次函数的解析式为：y=x+， 把A（1，1），B（6，0）代入y=mx+b得：， ∴， ∴一次函数的解析式为：y=﹣． 所以符合条件的一次函数解析式为：y=﹣或y=x+． |
| 点评： | 本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，解题时注意数形结合思想的体现． |
22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．
| 考点： | 翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD； （2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF==，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可． |
| 解答： | 解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=90°， 根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ， ∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°， ∵∠APM+∠AMP=90°， ∴∠BPQ=∠AMP， ∴△AMP∽△BPQ， 同理：△BPQ∽△CQD， 根据相似的传递性，△AMP∽△CQD； （2）∵AD∥BC， ∴∠DQC=∠MDQ， 根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM， ∴∠MDQ=∠DQM， ∴MD=MQ， ∵AM=ME，BQ=EQ， ∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM， ∵sin∠DMF==， ∴设DF=3x，MD=5x， ∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1， ∵△AMP∽△BPQ， ∴， ∴， 解得：x=（舍）或x=2， ∴AB=6． |
| 点评： | 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式． |
23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）
（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求工厂最大月效益．
| 考点： | 一次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据题意知电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y=1，当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值﹣用电量×电价，求出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式； （2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值． |
| 解答： | 解：（1）根据题意得：电价y与月用电量x的函数关系是分段函数， 当0≤x≤4时，y=1， 当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数， 设一次函数为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴y=， ∴电价y与月用电量x的函数关系为：y= ∴z与月用电量x（万度）之间的函数关系式为：z= 即z= （2）当0≤x≤4时，z= ∵， ∴z随x的增大而增大， ∴当x=4时，z有最大值，最大值为：=18（万元）； 当4＜x≤16时，z=﹣=﹣， ∵﹣， ∴当x≤22时，z随x增大而增大， 16＜22，则当x=16时，z最大值为54， 故当0≤x≤16时，z最大值为54，即工厂最大月效益为54万元． |
| 点评： | 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次函数的性质进行解答． |
24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
| 考点： | 几何变换综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形； （2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果； （3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=2，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，则CQ=BC﹣BQ． |
| 解答： | 解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′， ∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B， ∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB， ∵∠PAD+∠PAB=90°， ∴∠P′AB+∠PAB=90°， 即∠PAP′=90°， ∴△APP′是等腰直角三角形； （2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1， ∴PP′=， ∵P′B=PD=，PB=2， ∴P′B2=PP′2+PB2， ∴∠P′PB=90°， ∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′=45°， ∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°； （3）作BE⊥AQ，垂足为E， ∵∠BPQ=45°，P′B=2， ∴PE=BE=2， ∴AE=2+1=3， ∴AB==，BE==2， ∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=， ∴cos∠EBQ=， ∴， ∴BQ=， ∴CQ=﹣=． |
| 点评： | 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理、锐角三角函数的综合运用，有一定难度，作BE⊥AQ，构造等角的余弦值相等列方程或运用相似三角形对应线段成比例求出BQ是解决问题的关键． |
25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
| 考点： | 二次函数综合题．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式； （2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）； （3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4）， 连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答． |
| 解答： | 解：（1）由已知对称轴为x=1，得﹣=1， ∴b=2， 抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）， 即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1， （m﹣2）+（2m+1）=2， 3m=3， m=1， 将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得， （1﹣2）（2+1）=﹣c， ∴c=3， ∴m=1，c=3， 抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）由， ∴x2+（k﹣2）x﹣1=0， x1+x2=﹣（k﹣2），x1x2=﹣1， ∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（k﹣2）2+4， ∴当k=2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2， ∴x2﹣1=0，x1=1，x2=﹣1，即y1=4，y2=0， ∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）； （3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3）， O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO， ∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变， ∴要使L最小，只需BP+CO最短， 如图，平移线段OC到BC′，四边形OBC′C是矩形， ∴C′（3，3）， 作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4）， 连接C′P′与x轴交于点B′， 设C′P′解析式为y=ax+n， ∴，解得， ∴y=x﹣， 当y=0时，x=， ∴B′（，0）， 又3﹣=， 故点B向左平移，平移到B′， 同时，点O向左平移，平移到0′（﹣，0）． 即线段OB向左平移时，周长L最短， 此时，线段BP，CO之和最短为P′C′==，O′B′=OB=3，CP=， ∴当线段OB向左平移，即点O平移到O′（﹣，0），点B平移到B′（，0）时，周长L最短为++3． |
| 点评： | 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注． |
