1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线AC的解析式；

(3)试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2，点Q是x轴上一动点，将△ACQ沿CQ翻折，得△DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值．

2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D．

(1)如图1，当m＝1时，

①求该二次函数的解析式；

②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值；

(2)如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三形与△BOC相似．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；

(3)若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．

①当点F落在该抛物线上时，求m的值；

②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．

(1)求B，C，D三点坐标；

(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；

(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．

6．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

(2)求四边形ABDC的面积；

(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBCS△ABC时，求点P的坐标；

(4)在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为过点作直线轴于点，交抛物线于点记点关于抛物线对称轴的对称点为、不重合连接，．

(1)直接写出点、、的坐标用含的代数式表示；

(2)当时，连接，问为何值时？

(3)当过点作且，问是否存在，使得点落在轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点坐标；若不存在，请说明理由．

8．将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2

(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；

(2)如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；

(3)如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线yx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．

9．如图，在平面直相坐标系中，抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求b的值及B，C两点坐标；

(2)M第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．

①当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标；

②连接CM，当线段 CM＝CD时，求点M坐标．

10．已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

11．如图，抛物线y＝ax2+3x+c经过A(﹣1，0)，B(4，0)两点，并且与y轴交于点C．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)直线BC的解析式为      ；

(3)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交BC于点N，设MN的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；

(4)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在；如果不存在，说明理由．

12．抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，顶点为C．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

13．抛物线过点，点，顶点为C．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；

(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F，求的最大值．

14．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

15．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PE⊥AC，垂足为E．

(1)求此抛物线的函数关系式；

(2)求线段PE长度的最大值；

(3)如图②，延长PE交x轴于点F，连接OP，若△OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

16．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△DBC的面积为时，求D点的坐标；

(3)在（2）的条件下，连接CD，作DE⊥x轴于E，BC、DE交于点H，点P为线段CD上一个动点，过点P作PF∥AC交x轴于点F，连接FH，当∠PFH＝45°时，求点F的坐标；

(4)若M（m，n）是直线BC上方抛物线上一点，如果△MBC为锐角三角形，请直接写出点M的横坐标m的取值范围            ．

17．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．

(1)如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO；

(2)如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．

18．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．

(1)求k、b、c的值；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．

19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设APQ的面积为S1，BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；

(3)是否存在点P，使PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

20．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2＋与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．

(1)求抛物线F1的表达式；

(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．

①求点D的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

(3)在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参：

1．(1)y=-x2+2x+3

(2)y=3x+3

(3)存在，或

(4)

2．(1)①；②的最大值为

(2)当时，以、、为顶点的三角形与相似．

3．(1)y＝x2+2x﹣3

(2)（﹣1，﹣2）

(3)在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）

4．(1)y＝x2﹣2x﹣3

(2)D坐标为（1，﹣4）或（1，2）或（1，）或（1，）

(3)①；②

5．(1)、、；

(2)；

(3)，．

6．(1)yx2+3x+8，y＝﹣x+8

(2)70

(3)点P的坐标为（2，12）或P（6，8）

(4)存在，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）

7．(1)；；；

(2)

(3)

8．(1)C1：y＝（x﹣2）2﹣6，C2：y＝x2﹣6

(2)A（4，﹣2）或（5，3）

9．(1)

(2)①;②

10．(1)y＝﹣x2+2x+6

(2)P（3，）

(3)存在，P点坐标（4，6）或（5﹣，3﹣5）

11．(1)

(2)

(3)h与t之间的函数关系式为：，h的最大值为4

(4)在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形

12．(1)y=  ，C(1，4)

(2)P()

(3)﹣1＜m≤

13．(1)抛物线的表达式为，顶点

(2)

(3)有最大值

14．(1)；

(2)

(3)（， ），（2，2），（1+，4- ）

15．(1)

(2)

(3)点P的坐标为（，）或（，）

16．(1)

(2)

(3)

(4)

18．(1)k＝﹣，b＝，c＝﹣2

(2)存在，点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣3）

(3)AM+OM的最小值为

19．(1)y＝﹣x2+3x+4

(2)(1，6)或(2，6)

(3)存在，(3，4)或(，1)

20．(1)

(2)①D（﹣1，1）；②等腰直角三角形

(3)存在，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）下载本文