参与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．2a＞2b
【考点】不等式的基本性质．
【分析】取a=2，b=﹣1时，即可判断出A．B．C不成立；根据指数函数y=2x在R上单调递增，即可判断出D的正误．
【解答】解：取a=2，b=﹣1时，A．B．C不成立；
对于D．由指数函数y=2x在R上单调递增，a＞b，可得2a＞2b．
故选：D．
2．不等式≤0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1]∪（3，+∞） B．[1，3） C．[1，3] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【分析】首先将分式不等式转化为整式不等式，然后求解集．
【解答】解：原不等式等价于（x﹣1）（x﹣3）≤0且x﹣3≠0，所以不等式的解集为[1，3）；
故选：B．
3．等差数列{an}中，a5=15，则a3+a4+a7+a6的值为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．120
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列{an}的性质：a3+a7=a4+a6=2a5．即可得出．
【解答】解：利用等差数列{an}的性质：a3+a7=a4+a6=2a5．
∴a3+a4+a7+a6=4a5=4×15=60．
故选：C．
4．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：由，利用余弦定理得：
=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，
因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．
故选C
5．已知数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，则数列的前项n和为（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，利用递推关系可得an，再利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：∵数列{an}的前项n和Sn=n2+2n，
∴n=1时，a1=S1=3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，n=1时也成立．
∴an=2n+1，
∴==．
∴数列的前项n和=++…+
=
=．
故选：A．
6．函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（﹣∞，11） B．（1，11] C．（1，11） D．（1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】函数f（x）=有意义，只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数f（x）=有意义，
只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，
即为lg（x﹣1）≤1且x＞1，
解得1＜x≤11，
则定义域为（1，11]．
故选：B．
7．已知等比数列{an}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由已知得等比数列{an}前三项和S3=，由此分q＞0和q＜0两种情况分类讨论，能求出其前三项和S3的取值范围．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=2，
∴其前三项和S3=，
当q＞0时，S3=≥2+2=6；
当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．
∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
故选：D．
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=，则对△ABC的形状的精确描述是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知可得a2+b2=c2，利用勾股定理可得C=，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得
sinB﹣cosB=0，可求sin（B﹣）=0，结合范围B∈（0，），可求B=A，即可得解三角形的形状．
【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC，
∴由正弦定理可得：sin2A+sin2B=sin2C，可得：a2+b2=c2，
∴C=，△ABC是直角三角形．
又∵S==acsinB，
∴×2accosB=acsinB，解得：sinB﹣cosB=0，可得： sin（B﹣）=0，
∴B﹣=kπ，可得：B=kπ+，k∈Z，
∵B∈（0，），B﹣∈（﹣，），
∴B﹣=0，可得：B=，A=π﹣B﹣C=，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
9．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S2016=2016，且﹣=2000，则a1等于（ ）
A．﹣2017 B．﹣2016 C．﹣2015 D．﹣2014
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由==n+，可知：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：由==n+，
可知：数列是等差数列，设公差为d．
∴﹣=2000=2000d，解得d=1．
∴1==+2015×1，解得a1=﹣2014．
故选：D．
10．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】解：如图
由图可知，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）=2﹣．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．
故选：C．
11．在数列{an}中，a1=2，an=an﹣1+ln（1+）（n≥2）则{an}=（ ）
A．2+nlnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+lnn D．1+n+lnn
【考点】数列递推式．
【分析】根据条件，，即an﹣lnn=an﹣1﹣ln（n﹣1），故{an﹣lnn}是常数数列，所以an﹣lnn=a1﹣ln1=2，即an=2+lnn．
【解答】解：∵=，（n≥2）
∴an=an﹣1+lnn﹣ln（n﹣1），（n≥2）
∴an﹣lnn=an﹣1﹣ln（n﹣1），（n≥2）
∴{an﹣lnn}是常数数列，
∴an﹣lnn=a1﹣ln1=2，
∴an=2+lnn．
故选：C
12．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（ ）
A． B．2 C．8 D．17
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求则的最小值．
【解答】解：由约束条件得到可行域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）
即y=﹣x+的最小值为2是过图中A（1，1）得到，所以a+b=2，所以a+b=2≥2，
所以ab≤1，则+≥≥2；
当且仅当a=b时等号成立；
故选B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为 [0，4） ．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由于二次项系数为k，要讨论k与0的关系，当k≠0时，结合与二次函数的关系解答．
【解答】解：①当k=0时，不等式为为1＞0恒成立，满足题意；
②当k≠0时，只要，解得0＜k＜4；
所以不等式kx2﹣kx+1＞0的解集为R，则实数k的取值范围为[0，4）．
故答案为：[0，4）．
14．△ABC中，AB=3，AC=4，BC=，则△ABC的面积是 ．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵AB=3，AC=4，BC=，
∴cosA===，
∴sinA==，
∴S△ABC=AB•AC•sinA==．
故答案为：．
15．《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加 尺．（一月按30天计）
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：设每天织布的尺数成等差数列{an}，公差为d，
则5×30+d=390，
解得d=．
故答案为：．
16．方程ax2+bx+2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则2a﹣b的取值范围是 （5，+∞） ．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】作出可行域，平移目标函数和利用截距的意义即可得出
【解答】解：设f（x）=ax2+bx+2，
由题意可得分（0）=2＞0，可得a＞0，
，即，化为，
故所求的不等关系为，（*）
可行域如图阴影部分，
令z=2a﹣b，在点A处取得最小值5，
综上可知z的取值范围为（5，+∞），
故答案为：（5，+∞）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，△ABC的面积是9，求三角形边b，c的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）运用正弦定理和同角的商数关系，由特殊角的三角函数值可得A；
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，解方程即可得到所求b，c的值．
【解答】解：（1）在△ABC中， bcosA=asinB．
由正弦定理得，
∴，又0＜A＜π，
∴．
（2）由S△ABC=9，得bcsin=9，即为bc=36，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos，
即36=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣108，
解得b+c=12，
由得，
∴三角形边b，c的长都为6．
18．已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1）．
（1）求a，b的值；
（2）当m＞﹣时，解关于x的不等式（mx+a）（x﹣b）＞0．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）讨论m=0以及m＞0，﹣＜m＜0时，求出对应不等式的解集即可．
【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1），
∴﹣1，b是方程x2﹣ax﹣2=0的两实数根，
∴，
解得a=1，b=2；
（2）由（1）知，不等式可化为（mx+1）（x﹣2）＞0，
又m＞﹣，
当m=0时，不等式化为x﹣2＞0，解得x＞2；
当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣，或x＞2；
当﹣＜m＜0时，﹣＞2，不等式化为（x+）（x﹣2）＜0，解得2＜x＜﹣；
综上，m＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}，
m=0时，不等式的解集为{x|x＞2}，
﹣＜m＜0时，不等式的解集为{x|2＜x＜﹣}．
19．已知数列{an}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|an|，求数列{bn}的前项n和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由条件a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列，可得，又因为a1+a2+a3=21，a1+a3=2a2，解得a1和d，即可求出通项公式；
（2）bn=|an|=，分类讨论再利用等差数列的前n项和公式即可得Tn．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由a1+a2+a3=21得a2=7，
∴a1=7﹣d，a3=7+d，
∵a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列，
∴，即42=（6﹣d）（4+d），
解得d1=4（舍），d2=﹣2，
∴an=a2+（n﹣2）d=7+（n﹣2）•（﹣2）=﹣2n+11．
（2），
设数列{an}的前项n和为Sn，则．
当n≤5时，．
当n≥6时，Tn=b1+b2+…+bn=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）
=．
∴．
20．为方便市民休闲观光，市计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．
（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；
（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知及正弦定理即可得解BC的值．
（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，利用余弦定理可求，结合基本不等式可求x+y≤120，从而可求观光道路总长度最长值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由已知及正弦定理得，
即，
∴．
（2）设CA=x，CB=y，x，y∈（0，200]，
在△ABC中，AB2=AC2+CB2﹣2AC•CB•cos120°，即，
∴，
故x+y≤120，当且仅当x=y=60时，x+y取得最大值，
∴当A、B两点各距C点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为．
21．设等比数列{an}的前项n和Sn，a2=，且S1+，S2，S3成等差数列，数列{bn}满足bn=2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前项n和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由S1+，S2，S3成等差数列，可得，化简为，又因为，解得a1和q，即可求出等比数列的通项公式；
（2）因为{an}是等比数列，{bn}是等差数列，而cn=anbn，故利用错位相减法即可求出Tn．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，
∵成等差数列，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．
（2）设数列{cn}的前项n和为Tn，则Tn=c1+c2+c3+…+cn，
又，
∴，，
两式相减得，
∴，
22．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．
（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；
（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；
（3）当c=m﹣3时，F（x）=f（x）﹣（m+2）x，对任意x∈（1，2]有F（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．
【分析】（1）g（x）=x+（x＞0），运用基本不等式即可求得函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；
（2）依题意，可得f（x）=﹣x2+2x+c，当x∈（0，+∞）时，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根⇔g（x）=f（x）至少有一个实根，即y=g（x）与y=f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，可求得f（x）max=1+c，g（x）min=2，利用1+c≥2，可求得c的取值范围；
（3）由c=m﹣3时，F（x）=f（x）﹣（m+2）x，对任意x∈（1，2]有F（x）≤0恒成立，分离参数m可得不等式：，再将右端的部分分离出常数，利用“对勾”函数的单调性质即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＞0，∴，
∴，当且仅当，即x=1时“=”成立，即g（x）min=2，此时x=1．
（2）∵f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，
∴a=﹣1，
∴f（x）=﹣x2+2x+c，
当x∈（0，+∞）时，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根⇔g（x）=f（x）至少有一个实根．
即y=g（x）与y=f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，
∴f（x）max=1+c，g（x）min=2，
∴1+c≥2，∴c≥1，∴c的取值范围为[1，+∞）．
（3）∵c=m﹣3，∴F（x）=﹣x2+2x+m﹣3﹣（m+2）x=﹣x2﹣mx+m﹣3，
∴对任意x∈（1，2]有﹣x2﹣mx+m﹣3≤0恒成立，∴，
令t=x﹣1，t∈（0，1]，∴x=t+1，∴，
令，设t1，t2为（0，1]上任意两不等实数，且t2＞t1，
∴，
∵0＜t1＜t2≤1，∴t1﹣t2＜0，，∴G（t2）﹣G（t1）＞0，
∴G（t）在（0，1]上单调递增，
∴G（t）max=G（1）=﹣1﹣4﹣2=﹣7，∴m≥﹣7．
∴实数m的取值范围为[﹣7，+∞）．
2016年12月23日下载本文
