第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．3的相反数是（   ）

A．-3             B．           C．              D．3

【答案】A

【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是-3；故选A.

2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（   ）

A．    B．        C．    D．

【答案】B

【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B.

3．用科学计数法表示136 000，其结果是（   ）

A．      B．       C．           D． 

【答案】B

【解析】13600=1.36×105，故选B.

4．化简的结果是（   ）

A．              B．             C．              D．

【答案】C

【解析】（2x）2=4x2；故选C.

5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（   ）

A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形

B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形

【答案】A

点睛：本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键.

6． 不等式组：的解集是（   ）

A．     B．      C．        D．

【答案】A

【解析】由①得x≤2，由②得x>-3，所以解集为：-37．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（   ）

A．10，15         B．13，15         C．13，20         D．15，15

【答案】D

【解析】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.

8．如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（   ）

A．         B．       C．         D．

【答案】D

【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.

9．若直线经过点和，且，则的值可以是（   ）

A．3               B．4             C．5                D．6

【答案】C

10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是（   ）

A．1区            B．2区           C．3区           D．4区

【答案】D

【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.

点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分．

11．计算          ．

【答案】1

【解析】原式=2-1=1.

12． 如图，中，分别是的中点，连线，若，则线段的长等于          ．

【答案】6

【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6.

13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是          ．

【答案】红球（或红色的）

14．已知是数轴上的三个点，且在的右侧．点表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点表示的数是          ．

【答案】7

【解析】∵AB=2，BC=2AB ，∴BC=4， 3+4=7，故点C表示的数是7.

15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于          度．

【答案】108

【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.

16． 已知矩形的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形的面积为          ．

【答案】7.5

点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键.

三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

17． 先化简，再求值：，其中．

【答案】 ， .

【解析】

试题分析：先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可.

试题解析：原式= ，

当a= -1时，原式= =.

18． 如图，点在一条直线上，．求证： ．

【答案】证明见解析.

【解析】

19．如图，中，，垂足为．求作的平分线，分别交于，两点；并证明．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

【答案】作图见解析；证明见解析.

【解析】

试题分析：按作图方法作出角平分线BQ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.

试题解析：作图如下，BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点.

证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP，∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.

20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．

【答案】鸡有23只，兔有12只.

【解析】

21．如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．

（Ⅰ）若，求弧的长；

（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．

【答案】（Ⅰ）的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；

（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.

试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长= =π；

22．小明在某次作业中得到如下结果：

，

，

，

，

．

据此，小明猜想：对于任意锐角，均有．

（Ⅰ）当时，验证是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）成立，当时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；

（Ⅱ）成立，如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.

试题解析：（Ⅰ）当时， =sin230°+sin 260°= = =1，所以成立；

（Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：

如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，

sin2α+sin 2（90°-α）= =1

23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：

（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由．

【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利，理由见解析； 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据调整后的收费歀：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=1.2，b=1.4；

（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费

为： ×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.1×15）=1.1（元），

所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：5000×1.1=5500（元），

因为5500<5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利. 

24．如图，矩形中，，分别是线段AC、BC上的点，且四边形为矩形．

（Ⅰ）若是等腰三角形时，求的长；

（Ⅱ）若，求的长．

【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或；（Ⅱ）CF=

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得 ，由AP= ，从而可得CF= .

试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC= =10；

要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：

（1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；

（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP= ，即AP=5；

（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC= AD·DC= AC·DQ，∴DQ= ，∴CQ= ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= .

综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，

点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD要等腰三角形的关键.

25．已知直线与抛物线有一个公共点，且．

（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．

（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；

（ⅱ）求面积的最小值．

【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；

（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面积的最小值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2-  ,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（- ，- ）.

（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.

（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，得 E（-，-3），

从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM = ，即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因为关于a的方程（*）有实数根， 从而可和S≥ ，继而得到面积的最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.

（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.

把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.

（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），

又因为M（1，0），N（-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，

所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM= = ，

即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（36 ）2，

又因为a<0，所以S= > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0，

所以8S-54≥36，即S≥ ，

当S=时，由方程（*）可得a=- 满足题意.

故当a=-，b =时，△QMN面积的最小值为.

点睛：本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.下载本文