注意事项：　　

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号框。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.

1.已知集合{0，1，2},，则

  A. {1}           B. {2}          C. {0，1}         D. {1，2}

2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则

A. -5           B. 5           C.           D. 

3.设向量满足，则

A. 1             B. 2              C. 3             D. 5

4.钝角三角形的面积是，，，则

A. 5             B.            C. 2             D. 1 

5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

A. 0.8           B. 0.75            C. 0.6          D. 0.45 

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为

    A．    B．     C．     D． 

7.执行右面的程序框图，若输入的，均为2，

则输出的=

 A．4    

 B．5    

 C．6    

 D．7 

8.设曲线在点处的切线方程为，则

A.0               B.1               C.2               D.3 

9.设，满足约束条件则的最大值为

  A.10              B.8               C.3               D.2 

10.设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为

  A．             B．           C．           D． 

11.直三棱柱中，，,分别是,的中点，,则与所成角的余弦值为

    A．    B．              C．            D． 

12.设函数.若存在的极值点满足，则的取值范围是

  A．    B．    

  C．    D． 

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个考生都必须作答；第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.的展开式中，的系数为15，则实数          . （用数字填写答案）

14.函数的最大值为           .

15.已知偶函数在上单调递减，.若，则的取值范围是        .

16.设点，若在圆上存在点，使得,则的取值范围是        .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知数列满足，.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式;

（Ⅱ）证明.

18．（本小题满分12分）

     如图，四棱锥中，底面为矩形，，为的中点.

（Ⅰ）证明：；

   （Ⅱ）设二面角为，, ,求三棱锥的体积.

19．（本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

20．（本小题满分12分）

设,分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直. 直线与的另一个交点为.

（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；

（Ⅱ）若直线在轴上的截距为2，且，求.

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；

   （Ⅲ）已知，估计的近似值（精确到0.001）.

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是⊙外一点，是切线，为切点，割

线与⊙相交于点，，，为的中点 ,的延长线交⊙于点.证明： 

（Ⅰ）；

（Ⅱ）. 

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程，.

（Ⅰ）求曲线的参数方程;

（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

\

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题解析

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.

1.已知集合{-2，-1，0，1，2},，则

  A. {-1，0}        B. {0，1}       C. {-1，0，1}        D. {0，1，2}

解析：本题考查集合及其运算、二次不等式的解法. ， {-1，0}   

选A

2.若为实数，且，则=

A. -1             B. 0            C. 1             D. 2 

解析：本题考查复数、复数相等的概念及其运算.

，，故.      

选B

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是

  A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著           

  B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效                

C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势             

  D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析：本题考查柱状图等统计知识与识图能力.           

选D

4.已知等比数列满足，，则

A. 21             B. 42            C. 63             D. 84 

解析：本题考查数列概念，等比数列的通项公式. 

，，，，

，故     

选B

5.设函数则

A. 3              B. 6              C. 9             D. 12 

解析：本题考查分段函数概念及指数、对数的运算. 

，而， ， 

选C

6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如

  右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

    A．    B．              

  C．    D． 

解析：本题考查三视图、空间几何体的体积计算与空间想象能力. 

令正方体的棱长为1，则，.    

 选D

7.过三点, ,的圆交轴于、两点，则

 A.             B. 8              C.              D. 10 

解析：本题考查垂径定理、圆方程，计算能力.

由垂径定理知，圆心在的垂直平分线上，故设圆心，由得：

，.⊙：，

令得，，故.    

选C

8.右边程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，分别为14, 18，则输出的=

 A．0    

 B．2    

 C．4    

 D．14 

解析：本题考查程序框图与更相减损术.

，，又，，

而，，又，，

而，，故输出.        

选B

9.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点. 若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为

     A．    B．            C．    D． 

解析：本题考查球体、球表面积的计算与三棱锥体积的计算，空间想象与推理能力. 

  由已知可得:，为球的大圆周上的两点，三棱锥体积的最大值为36，,故.

选C

10.如图，长方形的边，，是的 

  中点. 点沿着边，与运动，记. 

  将动点到，两点距离之和表示为函数，则

  的图像大致为

解析：本题考查函数及其性质，数形结合、分析与转化的能力.

当点在边上运动时，显然随增大而增大，点在边上运动时， 随增大而减小；且

一方面明显是非线性的，另一方面可由特殊值验证点在边上运动时，随先减小后增大. 

选B

11.已知，为双曲线的左、右顶点,点在上，为等腰三角形，且顶点为，则的离心率为

      A．    B．    C．    D． 

解析：本题考查双曲线的标准方程、几何性质，数形结合与分析问题的能力.

据条件得等腰三角形有，又，，

，故，即，.

选D

12.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是

   A．    B．    

C．    D． 

解析：本题考查函数及其性质、导数等相关知识，分析问题、解决问题的能力.

令，则，，，而为奇函数，所以为偶函数，故在单增，在单减，又，，因此：

选A

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～21题为必考题，每个考生都必须作答；第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.设向量、不平行，向量与平行，则实数          .

解析：本题考查向量、共线向量的概念及共线定理.

答案： 

14.若，满足约束条件则的最大值为           .

解析：本题考查线性规划的相关知识. 

由约束条件得可行域如右图所示：

解方程组得：；

故在点取到最大值， 

答案： 

15.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则=        .

解析：本题考查二项式定理与项的系数概念.

=

             =

             =

答案： 

16.设是数列的前项和，且，，则=        .

解析：本题考查数列、等差数列的定义与通项等知识，归纳及分析与转化的能力.

，, ,，即.

故是以为首项，-1为公差的等差数列，，.

或计算归纳出的通项公式.

答案： 

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

中,是上的点，平分,面积是面积的2倍.

（Ⅰ）求;

（Ⅱ）若,，求和的长.

解析：本题考查正、余弦定理与面积公式，观察能力、分析能力与应用公式的能力.

解：（Ⅰ）,且平分，

，.

在中，据正弦定理得：,  .

（Ⅱ）,

在中, ,

在中, ,而，

, ,.

18．（本小题满分12分）

    某公司为了解用户对其产品的满意度，从， 

两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74  53 76

        78 86 95 66 97 78 88 82 76 

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73  82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

解析：本题考查茎叶图相关的统计知识与概率及性事件的概率计算，阅读理解能力与分析转化能力.

（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如右所示：

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度平分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.

（Ⅱ）记A地区用户满意度的评分低于70分的事件为，则,

记A地区用户满意度的评分在70分到分之间的事件为，则,

记A地区用户满意度的评分不低于90分的事件为，则,

记B地区用户满意度的评分低于70分的事件为，则,

记B地区用户满意度的评分在70分到分之间的事件为，则,

记B地区用户满意度的评分不低于90分的事件为，则;

互相，,

       .

19．（本小题满分12分）

如图，长方体中，, , ,点,分别在,上，.过点,的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

解析：本题考查线与线、线与面的垂直关系，线面所成角的概念及利用向量法求解线面角；空间想象、推理的能力.

   （Ⅰ）如右图所示.

   （Ⅱ）建立如右图所示的空间直角坐标系，则

, , , ,

, ,.

令平面的法向量为，与面所成的角为,

    由得：，，故

因此，.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由.

解析：本题考查直线与椭圆的综合问题与代数计算解决几何问题的解析法思想，同时还考查分析、推理、计算能力与数形结合的能力.

   （Ⅰ）设直线：，，，.

将代入得，故

，.

于是直线的斜率，即.

所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）四边形能为平行四边形.

因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是.

由（I）得的方程为.

设点的横坐标为.

由得，即.

将点的坐标代入的方程得，因此.

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.

于是，解得，.

因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形.

21．（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；

（Ⅱ）若对于任意，都有  ，求的取值范围.

解析：本题考查函数、导数与不等式的综合问题以及分类讨论的思想方法，同时还考查分析问题与解决问题的能力.

解：（Ⅰ）.

若，则当时，，；当时，.

当，则当时，，；当时，.

所以，在单调递减，在单调递增.

（II）由（I）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值.所以对于任意，的充要条件是

即                                   

设函数，则.

当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.

又，故当时，.

当时，即式成立；

当时，由的单调性，，即；

当时，，即.

综上，的取值范围是.

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，为等腰三角形内一点，⊙与的底边交于，两点， 与底边上的高交于点，且与,分别相切于,两点. 

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若等于⊙的半径，且,求四边形的面积.

解：（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线.又因为⊙分别与，相切于点，，所以，故，从而.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故是的垂直平分线.又为⊙的弦，所以在上.连接，，则.由等于⊙的半径得，所以.因此和都是等边三角形.因为，所以，.因为，,所以.于是.所以四边形的面积为.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线：（为参数，）,其中.在以为极点,以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，.

（Ⅰ）求曲线与交点的直角坐标;

（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点,求的最大值.

解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.

联立，解得或

所以与的直角坐标为和.

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中.因此的极坐标为，的极坐标为.

所以.

当时，取得最大值，最大值为4.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设均为正数，且，证明:

（Ⅰ）若,则；

（Ⅱ）是的充要条件.

解：（Ⅰ）因为，，由题设，得.

因此，.

（Ⅱ）（i）若，则，即

.

由（Ⅰ）得.

（ii）若，则，即

.

因为，所以.于是

.

因此.

综上，是的充要条件.下载本文