1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　   　s．

2．如图,△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0,2）,C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，）    B．（0，）    C．（0，）    D．(0，)

二．填空题(共1小题）

3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　   　小时可到达居民点B．(友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

三．解答题（共5小题）

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2,0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2)若P为y轴上的一个动点,连接PD，则PB+PD的最小值为　   　；

（3）M(x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　   　个;

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°,求t的取值范围．

5．如图，在△ACE中,CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长．

6．如图，已知抛物线y=（x+2)（x﹣4）（k为常数,且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点,与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

(1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?

7．(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值；

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为　   　,PD﹣的最大值为　   　．

（3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为　   　,PD﹣的最大值为　   　．

8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

(1)求a的值和直线AB的函数表达式；

(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=,求m的值;

(3)如图2，在（2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）,连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值．

2018年05月25日187**＊*4779的初中数学组卷

参与试题解析

一．选择题(共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1。25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s．

【分析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H,如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==,设DH=4m,EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1。25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标,再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标,从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．

【解答】解:过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，

∵EH∥AB，

∴∠HEB=∠ABE，

∴tan∠HED=tan∠EBA==，

设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，

∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4(s）

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s)，

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，

作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG,

∴AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3,则A（﹣1，0），B(3，0）,

直线BE交y轴于C点，如图,

在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==,

∴OC=4，则C（0，4），

设直线BE的解析式为y=kx+b，

把B(3,0），C（0，4）代入得，解得，

∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，

解方程组得或,则E点坐标为（﹣,）,

∴AQ=，

∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s)，

即蚂蚁从A到E的最短时间为s．

故答案为．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．

2．如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为（　　)

A．(0，)    B．(0，）    C．（0，)    D．（0，）

【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．

【解答】解：假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1，

设D坐标为（0,y），则AD=2﹣y，CD==,

∴设t=+，

等式变形为:t+y﹣=,则t的最小值时考虑y的取值即可，

∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2=y2+1，

∴y2+(﹣t）y﹣t2+t+1=0,

△=（﹣t)2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，

∴t的最小值为，

∴y=，

∴点D的坐标为（0，），

故选D．

解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，

总时间t=+=（+CD)，要使t最小，就要+CD最小，

因为AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以==3,所以=DH，因为△ABC是等腰三角形,所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD,所以=，即=,所以OD=，

所以点D的坐标应为（0,）．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．

二．填空题（共1小题）

3．如图,一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火,消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　　小时可到达居民点B．（友情提醒:消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x千米，根据题意,找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．

【解答】解:如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，

由已知条件AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知

AC==15千米．

则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，

BD==km,

设走的行驶时间为y，则

y=+．

整理为关于x的一元二次方程得

3x2+(160y﹣120）x﹣00y2+1200=0．

因为x必定存在，所以△≥0．即

(160y﹣120）2﹣4×3×(1200﹣00y2）≥0．

化简得102400y2﹣38400y≥0．

解得y≥,

即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．

故答案为：．

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．

三．解答题（共5小题）

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣）,C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,则PB+PD的最小值为　　；

(3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　5　个;

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

【分析】(1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．

(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H,交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．

（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．

②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．

【解答】解:(1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，

∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣,

∴顶点坐标（,﹣）．

（2）如图1中,连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，

此时PB+PD最小．

理由:∵OA=1,OB=,

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°，

∴PH=PB,

∴PB+PD=PH+PD=DH，

∴此时PB+PD最短(垂线段最短)．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，

∴sin60°=,

∴DH=，

∴PB+PD的最小值为．

故答案为．

（3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，

以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,

线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,

所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个,

故答案为5．

②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°，

作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°,

以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．

则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意,

∵EB==，

∴OE=OB﹣EB=,

∵F（,t)，EF2=EB2,

∴（）2+(t+）2=（）2,

解得t=或，

故F（，），G（，），

∴t的取值范围≤t≤

【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线,构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．

5．如图,在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1)试说明CE是⊙O的切线;

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;

(3）设点D是线段AC上任意一点(不含端点）,连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

【分析】(1）连接OC，如图1,要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可;

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC,如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题;

（3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时，DH+FD(即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

【解答】解：（1)连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切线；

(2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．

在Rt△OHC中,CH=OC•sin∠COH，

∴h=OC•sin60°=OC,

∴OC==h，

∴AB=2OC=h;

(3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F,连接AF、CF、DF，如图3，

则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．

∵OA=OF=OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形，

∴AF=AO=OC=FC，

∴四边形AOCF是菱形，

∴根据对称性可得DF=DO．

过点D作DH⊥OC于H，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，

∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，

∴CD+OD=DH+FD．

根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时,DH+FD（即CD+OD）最小,

此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6,

则OF=4，AB=2OF=8．

∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．

【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．

6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1)若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【分析】(1）首先求出点A、B坐标,然后求出直线BD的解析式,求得点D坐标,代入抛物线解析式，求得k的值；

(2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3)由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间:t=AF+DF．如答图3,作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点．

【解答】解：（1)抛物线y=(x+2）(x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4,

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0)，

∴﹣×4+b=0，解得b=,

∴直线BD解析式为：y=﹣x+．

当x=﹣5时,y=3,

∴D(﹣5，3）．

∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2)（x﹣4)上，

∴（﹣5+2）(﹣5﹣4）=3，

∴k=．

∴抛物线的函数表达式为:y=（x+2）(x﹣4）．

即y=x2﹣x﹣．

（2)由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C(0，﹣k)，OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y）,过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，

∴y=x+k．

∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）(x﹣4)，

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2(与点A重合，舍去），

∴P（8,5k)．

∵△ABC∽△APB，

∴,即，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

设P(x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．

tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，

∴y=x+．

∴P（x,x+），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+,整理得:x2﹣4x﹣12=0,

解得：x=6或x=﹣2(与点A重合，舍去），

∴P(6，2k）．

∵△ABC∽△PAB,

=，

∴=，

解得k=±,

∵k＞0，

∴k=，

综上所述，k=或k=．

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA===，

∴∠DBA=30°．

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．

过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点,即为所求之F点．

∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为:y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣2）+=2，

∴F（﹣2，2）．

综上所述，当点F坐标为(﹣2,2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二:

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°,

∴FH=DF×sin30°=，

∴当且仅当AH⊥DK时,AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为:t=，

∵lBD:y=﹣x+，

∴FX=AX=﹣2,

∴F（﹣2，）．

【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k,增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3)问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．

7．(1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；

（2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

（3）如图3,已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

【分析】（1）如图1中,在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出==，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5;

(2)如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）;

（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；

【解答】解:(1）如图1中，在BC上取一点G,使得BG=1．

∵==2，==2，

∴=，∵∠PBG=∠PBC，

∴△PBG∽△CBP，

∴==,

∴PG=PC，

∴PD+PC=DP+PG，

∵DP+PG≥DG，

∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．

∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中）,最大值为DG=5．

（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．

∵==,==，

∴=,∵∠PBG=∠PBC，

∴△PBG∽△CBP,

∴==,

∴PG=PC，

∴PD+PC=DP+PG，

∵DP+PG≥DG，

∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==．

∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG=．

故答案为，

（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．

∵==2，==2，

∴=,∵∠PBG=∠PBC，

∴△PBG∽△CBP,

∴==，

∴PG=PC，

∴PD+PC=DP+PG，

∵DP+PG≥DG,

∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，

在Rt△CDF中,∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，

在Rt△GDF中,DG==

∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG，

当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大(如图2中），最大值为DG=．

故答案为，．

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难，属于中考压轴题．

8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3(a≠0）与x轴交于点A（4,0)，与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

(1）求a的值和直线AB的函数表达式;

(2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=,求m的值；

（3）如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α（0°＜α＜90°）,连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．

(2）由△PNM∽△ANE，推出=，列出方程即可解决问题．

(3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．

【解答】解：(1)令y=0,则ax2+（a+3）x+3=0，

∴(x+1）（ax+3）=0，

∴x=﹣1或﹣，

∵抛物线y=ax2+(a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A(4,0），

∴﹣=4，

∴a=﹣．

∵A（4,0），B(0,3），

设直线AB解析式为y=kx+b，则，

解得，

∴直线AB解析式为y=﹣x+3．

(2）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴=，

∵NE∥OB,

∴=，

∴AN=(4﹣m），

∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3,

∴PN=﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m，

∴=，

解得m=2．

(3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．

∵OE′=2,OM′•OB=×3=4，

∴OE′2=OM′•OB，

∴=，∵∠BOE′=∠M′OE′,

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴==，

∴M′E′=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),

最小值=AM′==．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．

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