一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．如果a与|﹣7|互为相反数，则a的值是（　　）

A．7    B．﹣7    C．    D．﹣

2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．在下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）

A．2.5×10﹣7    B．2.5×10﹣6    C．25×10﹣7    D．0.25×10﹣5

5．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如表是12名同学的爱心捐款统计，则由捐款数组成的这组数据中，中位数与众数分别是（　　）

7．点P是图①中三角形边上一点，坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标为（　　）

A．（ a， b）    B．（ a，b）    C．（a﹣2，b）    D．（a﹣1，b）

8．反比例函数y=和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．化简： +3=　　　　　　．

10．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，若∠BOC=80°，则∠A等于　　　　　　°．

11．一个口袋有15个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中一次摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有　　　　　　 个黑球．

12．某车间有甲乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟．若设乙组每小时加工x个零件．根据题意，可列出方程　　　　　　．

13．如图，在△ABC中，∠C=45°，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D；FG垂直平分AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=3cm，BC=12cm，则DF=　　　　　　cm．

14．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2=　　　　　　；Sn=　　　　　　．（用含n的式子表示）

三、作图题（共1小题，满分4分）

15．已知：线段a，∠α．

求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．

四、解答题（共9小题，满分74分）

16．（1）化简：÷（x﹣）

（2）已知关于x的一元一次不等式2x﹣6＞a的解集为x＞﹣1，求a的值．

17．某学校为了解该校学生的课余活动情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如下：

（1）在这次研究中，一共调查了　　　　　　名学生．

（2）补全频数分布折线图；

（3）该校共有2200名学生，估计该校学生中爱好阅读的人数大约是多少？

18．一对质地均匀的正方体骰子的六个面上分别有1到6个点数，将骰子抛掷两次，若两骰子正面点数和为2、10、11、12，则甲赢；如果两骰子正面点数的和为7，则乙赢；若两骰子正面点数的和为其它数，则甲乙都不赢．继续下去，直到有一个人赢为止．你认为游戏对甲、乙是否公平？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．

19．如图，是某货运站传送货物的平面示意图．传送带AB长为4米，在离B点5米远的地方有一堆货物DEFG等待运输．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．但要保证货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断货物DEFG是否需要挪走．（结果精确到0.1米：参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）

20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？

21．已知：如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，连接AE，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．

（1）求证：△AOF≌△EOB；

（2）当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

22．某旅游商店购进某种工艺品原料140个．准备加工后销售，根据前期销售经验，加工成半成品销售每个可获利10元．加工成成品每个可获利20元，已知该店每天只能加工半成品15个或成品5个，两种加工不能同时进行．

（1）若用12天刚好加工完这批原料，则该店加工半成品和成品各多少个？

（2）试求出销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式；

（3）临近旅游旺季，该商店要在不超过14天的时间内，将140个原料全部加工完后进行销售，并要使售后或利润最大，则应该如何安排加工的时间？能获得的最大利润是多少？

23．【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？

【探究一】若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成个大正方形．

请你用9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形．（如图正方形）

【探究二】若n=2、5、10、13等，这些数，都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：2=；5=．

解决方法：以n=5为例

（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为；

（2）剪切：如图1，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；

（3）拼图：以图1中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图2．

请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形．

（1）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为；

（2）剪切：请画出剪切的图形；

（3）拼图：请画出拼成的图形；

【问题拓展】如图3，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．

请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．

（1）计算：拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为；

（2）剪切：请在图3中完成；

（3）拼图：请画出拼成的图形．

24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°．点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t（s）．

（1）当点P在AD上运动时，如图（1），DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在DC上运动时，如图（2），设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．

山东省青岛市中考数学二模试卷

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．如果a与|﹣7|互为相反数，则a的值是（　　）

A．7    B．﹣7    C．    D．﹣

【考点】相反数；绝对值．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：由a与|﹣7|互为相反数，得

a=﹣7，

故选：B．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．

2．如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

3．在下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项正确；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）

A．2.5×10﹣7    B．2.5×10﹣6    C．25×10﹣7    D．0.25×10﹣5

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【专题】常规题型．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【专题】压轴题．

【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．

【解答】解：设OA与BC相交于D点．

∵AB=OA=OB=6

∴△OAB是等边三角形．

又根据垂径定理可得，OA平分BC，

利用勾股定理可得BD==3

所以BC=6．

故选A．

【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．

6．如表是12名同学的爱心捐款统计，则由捐款数组成的这组数据中，中位数与众数分别是（　　）

【考点】众数；中位数．

【分析】根据众数的定义即可得到捐款金额的众数是15；在12个数据中，第6个数和第7个数分别是15元，15元，然后根据中位数的定义求解．

【解答】解：共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15元，15元，所以中位数是：（15+15）÷2=15（元）；

捐款金额的众数是15元．

故选：A．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

7．点P是图①中三角形边上一点，坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标为（　　）

A．（ a， b）    B．（ a，b）    C．（a﹣2，b）    D．（a﹣1，b）

【考点】坐标与图形性质．

【专题】计算题；实数．

【分析】根据已知点坐标变化规律确定出P′坐标即可．

【解答】解：根据题意得：（2，0）变化后的坐标为（1，0），（4，0）变化后的坐标为（2，0），

则P坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标（a，b），

故选B．

【点评】此题考查了坐标与图形性质，弄清图中坐标变化是解本题的关键．

8．反比例函数y=和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．

【专题】压轴题；分类讨论．

【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．

【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=的图象在二，四象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；

当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=的图象在一、三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．

故选C．

【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．化简： +3=　3　．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．

【解答】解：原式=2+

=3．

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并．

10．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，若∠BOC=80°，则∠A等于　40　°．

【考点】圆周角定理．

【分析】因为⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又因为∠BOC=80°，OB=OC，所以∠B=∠BCO=50°，所以∠A=40°．

【解答】解：∵⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠BCO，

∵∠BOC=80°，

∴∠B=∠BCO=50°

∴∠A=40°．

【点评】此题目考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角．并且解题时注意题目中的隐含条件，即圆的半径处处相等．

11．一个口袋有15个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从袋中一次摸出10个球，求出白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别是0.4，0.3，0.2，0.3，0.3，根据上述数据，小明估计口袋中大约有　35　 个黑球．

【考点】利用频率估计概率．

【分析】首先计算5次比值的平均数，即估计总体中白球所占的百分比．根据已知部分求全体，用除法即可求得总数，从中去掉白球，即为所求．

【解答】解：∵（0.4+0.3+0.2+0.3+0.3）÷5=0.3，

∴口袋中球的总数为：15÷0.3=50，

∴口袋有黑球：50﹣15=35．

即口袋中大约有35个黑球．

故答案为35．

【点评】本题考查了利用频率估计概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系求得球的总个数．

12．某车间有甲乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟．若设乙组每小时加工x个零件．根据题意，可列出方程　﹣=0.5　．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】首先设乙组每小时加工x个零件，则甲组每小时加工（1+25%）x个零件，根据题意可得乙组加工180个零件所用的时间﹣甲组加工200个零件所用的时间=30分钟，根据等量关系，列出方程即可．

【解答】解：设乙组每小时加工x个零件，由题意得：

﹣=．

故答案为：﹣=0.5．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

13．如图，在△ABC中，∠C=45°，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D；FG垂直平分AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=3cm，BC=12cm，则DF=　4　cm．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA=FC，DA=DB，根据直角三角形的判定得到∠AFC=90°，设DF=x，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．

【解答】解：∵FG垂直平分AC，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠C=45°，

∴∠AFC=90°，又FA=FC，

∴FA=FC=3，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

设DF=x，则DA=DB=9﹣x，

由勾股定理得（9﹣x）2=x2+32，

解得，x=4，

故答案为：4．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

14．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2=　　；Sn=　　．（用含n的式子表示）

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．

【解答】解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，

∵△AB1C1是等边三角形，

∴AD1=AC1•sin60°=2×=，

∵△B1C1B2也是等边三角形，

∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，

∴AD1=B2D1=，

故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；

S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．

∵Bn Cn∥AB，

∴==，

∴BnDn=•AB=，

则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．

△Bn+1DnCn面积为Sn=•=•=．

即第n个图形的面积Sn=．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，题目新颖，同学们要好好掌握．

三、作图题（共1小题，满分4分）

15．已知：线段a，∠α．

求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．

【考点】作图—复杂作图．

【专题】作图题．

【分析】首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置．

【解答】解：如图所示：△ABC即为所求．

【点评】此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．

四、解答题（共9小题，满分74分）

16．（1）化简：÷（x﹣）

（2）已知关于x的一元一次不等式2x﹣6＞a的解集为x＞﹣1，求a的值．

【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式．

【分析】（1）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简；

（2）先求解不等式，再根据已知条件即可得出答案．

【解答】解：（1）÷（x﹣）

=÷

=×

=；

（2）2x﹣6＞a，

2x＞6+a，

x＞3+a，

∵解集为x＞﹣1，

∴3+a=﹣1，

解得a=﹣24．

【点评】考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．同时考查了解一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握不等式的基本性质．

17．某学校为了解该校学生的课余活动情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如下：

（1）在这次研究中，一共调查了　200　名学生．

（2）补全频数分布折线图；

（3）该校共有2200名学生，估计该校学生中爱好阅读的人数大约是多少？

【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）由“其他”的人数和所占百分数，求出全部调查人数；

（2）先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数，进一步求出阅读的人数，补全频数分布折线图；

（3）利用样本估计总体的方法计算即可解答．

【解答】解：（1）40÷20%=200（人）

答：一共调查了200名学生；

（2）200×30%=60（人）

200﹣（60+30+20+40）

=200﹣150

=50（人）

补全频数分布折线图如下：

；

（3）2200×=550（人）．

答：估计该校学生中爱好阅读的人数大约是55人．

【点评】本题考查统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．

18．一对质地均匀的正方体骰子的六个面上分别有1到6个点数，将骰子抛掷两次，若两骰子正面点数和为2、10、11、12，则甲赢；如果两骰子正面点数的和为7，则乙赢；若两骰子正面点数的和为其它数，则甲乙都不赢．继续下去，直到有一个人赢为止．你认为游戏对甲、乙是否公平？请说明理由；若不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】列举出所有情况，找到点数和为2、10、11、12的情况数及点数和为7的情况数，求得甲赢的概率和乙赢的概率，若概率相等则公平．

【解答】解：表格如下 

＜，

则游戏不公平，甲赢的概率比乙大，

掷一次骰子，向上一面的点数为偶数为甲赢，为奇数为乙赢．

【点评】考查用列表格的方法解决游戏公平性问题；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；概率大的赢的机会也大．

19．如图，是某货运站传送货物的平面示意图．传送带AB长为4米，在离B点5米远的地方有一堆货物DEFG等待运输．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．但要保证货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断货物DEFG是否需要挪走．（结果精确到0.1米：参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，根据特殊角的三角函数值求出AD，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，根据勾股定理求出CD，从而求出CB，最后根据DC=DB﹣CB求出DC，然后与2米进行比较，即可得出答案．

【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D；

在Rt△ABD中，

AD=BD=ABsin45°=4×=2，

在Rt△ACD中，

∵∠ACD=30°，

∴AC=2AD=4；

在Rt△ACD中，CD===2；

∴CB=CD﹣BD=2﹣2≈2.1．

∵DC=DB﹣CB≈5﹣2.1=2.9＞2；

∴货物DEFG不需要挪走．

【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，在两个直角三角形拥有公共边的情况下，先求出这条公共边是解答此类题目的关键．

20．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．

（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？

（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；

（2）利用当x=1时，y=；当x=1.5 时，y=．得出当竖直摆放5个圆柱形桶时，得出桶高进而比较；即可得出答案；

（3）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．

【解答】解：（1）M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0），

设抛物线的解析式为y=ax2+k，

∵抛物线过点M和点B，

则k=5，．

即抛物线解析式为；

（2）当x=1时，y=；当x=时，y=．

即P（1，），Q（，）

当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=×7=2.1．

∵2.1＜且2.1＜，

∴网球不能落入桶内；

（3）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，

由题意，得，≤0.3m≤，

解得：≤m≤；

∵m为整数，

∴m的值为8，9，10，11，12．

∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．

【点评】此题考查了抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．

21．已知：如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，连接AE，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．

（1）求证：△AOF≌△EOB；

（2）当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】（1）根据平行四边形的定义可得AD∥BC，进而可得∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，再由O为AE中点可得AO=EO，然后可利用AAS判定：△AOF≌△EOB；

（2）首先证明四边形ABEF是平行四边形，然后再证明AB=AF可得四边形ABEF是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，

∵O为AE中点，

∴AO=EO，

在△AOF和△EOB中，，

∴△AOF≌△EOB（AAS）；

（2）解：四边形ABEF是菱形；

∵△AOF≌△EOB，

∴AF=BE，

∵AD∥BC，

∴AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴AE平分∠BAD，

∴∠ABF=∠EBF，

∵∠AFO=∠EBO，

∴∠ABO=∠AFO，

∴AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行，一组邻边相等的平行四边形是菱形．

22．某旅游商店购进某种工艺品原料140个．准备加工后销售，根据前期销售经验，加工成半成品销售每个可获利10元．加工成成品每个可获利20元，已知该店每天只能加工半成品15个或成品5个，两种加工不能同时进行．

（1）若用12天刚好加工完这批原料，则该店加工半成品和成品各多少个？

（2）试求出销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式；

（3）临近旅游旺季，该商店要在不超过14天的时间内，将140个原料全部加工完后进行销售，并要使售后或利润最大，则应该如何安排加工的时间？能获得的最大利润是多少？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）设该店加工半成品x个，则加工成品（140﹣x）个，根据用12天刚好加工完这批原料，列出方程解答即可；

（2）利用总利润=加工半成品的利润+加工成品的利润列出函数解析式即可；

（3）根据（2）中求得的解析式，求出自变量的取值范围，利用一次函数的性质即可解决．

【解答】解：（1）设该店加工半成品x个，则加工成品（140﹣x）个，由题意得

+=12

解得：x=120

则140﹣x=20

答：该店加工半成品120个，加工成品20个．

（2）由题意得

销售这批工艺品的利润y与加工成品的天数a（天）之间的函数关系表达式为y=20×5a+10×（140﹣5a）=50a+1400．

（3）由题意：a+≤14解得a≤7，

∵y=50a+1400，

∴k=50＞0，y随a的增大而增大，

∴a=7时，y最大值=50×7+1400=1750元．

【点评】本题考查一元一次方程、一次函数的性质等知识，解题的关键是理解总利润，每个产品的利润，产品的数量之间的关系，学会利用函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．

23．【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？

【探究一】若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成个大正方形．

请你用9个边长为1的小正方形拼成一个大正方形．（如图正方形）

【探究二】若n=2、5、10、13等，这些数，都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：2=；5=．

解决方法：以n=5为例

（1）计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为；

（2）剪切：如图1，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；

（3）拼图：以图1中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图2．

请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形．

（1）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为；

（2）剪切：请画出剪切的图形；

（3）拼图：请画出拼成的图形；

【问题拓展】如图3，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．

请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．

（1）计算：拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为；

（2）剪切：请在图3中完成；

（3）拼图：请画出拼成的图形．

【考点】四边形综合题．

【分析】探究一：由大正方形的面积计算出边长，从而可画出图形；

探究二：将13正正方形分割为1个边长为1的正方形和4个两直角边分别为2和3的直角三角形即可；

探究三：将两个正方形分割为1个边长为（a﹣b）的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可．

【解答】解：探究一：∵9个边长为1的正方形的面积为9，

∴所拼成的正方形的边长为3．

所拼图形如图所示：

探究二：（1）=；

（2）如图所示：

（3）拼成的图形如图所示：

探究三：（1）计算：拼成的大正方形的面积是a2+b2，边长为；

（2）如图4所示：

（3）拼成的图形如图5所示：

【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质，正方形的面积公式、勾股定理，能够将所给图形分割为1个正方形和4个直角三角形是解题的关键．

24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°．点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t（s）．

（1）当点P在AD上运动时，如图（1），DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（2）当点P在DC上运动时，如图（2），设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）求出CE长度，根据平行四边形对边平行且相等，建立等量关系：PD=QE，根据题意建立方程求解即可；

（2）过点P作PM⊥BC，用t表示出CP，CQ，PM，进一步表示三角形面积即可；

（3）分情况表示出三角形PQC的面积，求出梯形面积，根据题意建立方程即可求解；

（4）求出x与t的关系，代入（2）中关系式即可求解．

【解答】解：（1）不存在，理由如下：

∵DE⊥CD，∠C=60°，DC=6cm，

∴∠CED=30°，

∴CE=2CD=12，

设点P、Q运动的时间是t（s），PD=4﹣t，QE=BC﹣CE﹣BQ=20﹣12﹣2t=8﹣2t，

使四边形PQED是平行四边形，

有PD=QE，

∴4﹣t=8﹣2t，

解得：t=4，此时点P与点D重合，不能构成平行四边形；

（2）如图②

由题意可求：PC=10﹣t，QC=20﹣2t，

过点P作PM⊥BC，

∵∠C=60°，

∴=sin60°=，

可求PM=（10﹣t），

∴S=×（20﹣2t）×（10﹣t）=t2﹣+；

（3）如图3

过点D作DN⊥BC，

由DC=6，∠DCB=60°，可求：DN=，

∴梯形ABCD的面积为：（4+20）×÷2=，

当t≤4时，QC=20﹣2t，

此时，△PQC的面积为：（20﹣2t）×÷2，

由题意得：（20﹣2t）×÷2=×，

解得：t=（舍去）；

当4＜t≤10时，

由（2）知，△PQC的面积为： t2﹣+，

由题意： t2﹣+=×，

解得：t=6，或t=14（舍去），

所以当t=6时，△PQC的面积是梯形ABCD的面积的；

（4）如图②

由（2）知：PC=10﹣t，QC=20﹣2t，

过点P作PM⊥BC，

∵∠C=60°，

∴=sin60°=，

PM=（10﹣t），

可求：CM=（10﹣t），QM=QC﹣CM=（10﹣t），

由勾股定理可求：PQ=（10﹣t），

当PQ=x时，（10﹣t）=x，解得：t=10﹣，

∴S=×（20﹣2t）×（10﹣t）=，

【点评】此题主要考察四边形的综合问题，会根据平行四边形的性质研究点的存在问题，会用变量表示三角形面积，会运用方程解决相关问题是解题的关键．

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