考点：1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定决相关问题．

2．考查椭圆的方程及其几何性质．

3．考查直线与椭圆的位置关系．

学习目标：

1．重点理解

理解椭圆定义及其条件；理解椭圆标准方程的推导；理解椭圆标准方程中a、b、c的大小关系．

2．重点掌握

掌握椭圆定义；掌握求椭圆标准方程的方法；进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．

3．能力培养

培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．

知识要点：

1．椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程（中心在原点）

焦点在轴：焦点坐标，焦距。

顶点坐标。

焦点在轴： 焦点坐标，焦距。

顶点坐标。

注意：①焦点在轴上的分母较大

        焦点在轴上的分母较大

      ②求椭圆的标准方程。首先要确定焦点的位置，选择好标准方程的形式，再根据条件求出和的值即可也就是先定“型”，再定“量”。

3．椭圆中的基本量：

   :  半长轴

  ：半短轴

  ：半焦距   

  离心率： 。椭圆线 ， 椭圆圆

  准线：焦点在轴，焦点在轴

4、椭圆方程的一般式（待定系数法求椭圆方程）

5．椭圆的标准方程和几何性质

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．

【典型例题】

考点一　求椭圆的标准方程

例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；

(3)焦点在坐标轴上，且经过点A(，－2)和B(－2，1)

例2 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

例3 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

说明：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

例4求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．

（3）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程或．

例5 已知方程表示椭圆，求的取值范围．

说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．

例6 已知椭圆的离心率，求的值．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．

【规律方法】

求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法。用待定系数法求椭圆的一般步骤是：

作判断--------------------根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能

设方程--------------------根据上述判断设方程或者

找关系---------------------根据已知条件，建立关于的方程组

得方程---------------------解方程组，将解代入所设方程，即为所求

提醒：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，为避免讨论和繁杂的计算也可以设为.

考点二　椭圆的几何性质

例1　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为多少？

例2 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

例3 已知P是椭圆＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．

评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．

考点三  椭圆的焦点三角形

定义：连接椭圆两交点与椭圆上一点的三角形

性质：1、周长为定值2a+2c

      2、正弦定理、余弦定理

      3、面积： 

      4、当顶点在椭圆短轴顶点是最大

      5、通径

例1、F1、F2是椭圆＋=1的两个焦点，AB是过点F1的弦，则ABF2的周长是？

例2、椭圆＋=1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON(0为坐标原点)为多少？

例3、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为多少？

变式一、点P是椭圆=1上一点，F1、F2是焦点， F1PF2=600，则ΔPF1F2的面积是_____。

变式二、椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则        ；的大小为        . 

考点四  椭圆的离心率

例1．在一椭圆中，以焦点为直径两端点的圆恰好经过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率为多少？

例2．已知椭圆的两个焦点分别为，过且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为多少？

例3、在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=______．

例4. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是____

例5.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_________

练习题：

A组：

1．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与

椭圆的另一焦点构成，那么的周长是____________

2．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_________

3已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程          ．

4．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是____

5.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 _____

翰林汇

二、计算题

1．椭圆的两焦点为，，过F1作弦AB，且的周长为20，求此椭圆的方程．

2、中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为0.6，求椭圆方程

3．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，求椭圆的标准方程

B组：

1.P为椭圆上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=30°，则△F1PF2的面积为       

2．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为       .

3. 已知椭圆=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____翰林汇

4．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的_____倍。

5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是___________.

6.椭圆的右焦点F，其准线与XA轴的交点为A，在椭圆上存在点p满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是____翰林汇

7、已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程.

8.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=____________

C组：

1. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

变式训练：

椭圆长轴端点为A,B。原点O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且.

(1)求椭圆的标准方程

(2)记椭圆的上顶点为M，直线交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线，使得点F恰为的垂心？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由下载本文