高考数学专题复习——导数
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围
四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式
3、替换构造不等式证明不等式
五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用
2、恒成立之分离常数
3、恒成立之讨论参数范围
六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
(1)曲线在处的切线的斜率等于， 且切线方程为
| 。 |
| (2)若可导函数在 处取得极值， 则。反之， 不成立。 |
| (3)对于可导函数， 不等式的解集决定函数的递增（减）区间。 |
| (4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）. |
| (5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值， 则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R， 则有）。 |
| (6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数， 进而得到或在I上恒成立 |
| (7)若， 恒成立， 则; 若， 恒成立， 则 |
| (8)若， 使得， 则；若， 使得， 则. |
| (9)设与的定义域的交集为D， 若D 恒成立， 则有 . |
| (10)若对、 ， 恒成立， 则. 若对， ， 使得,则. 若对， ， 使得， 则. |
| （11）已知在区间上的值域为A,， 在区间上值域为B， 若对,， 使得=成立， 则。 |
| (12)若三次函数f(x)有三个零点， 则方程有两个不等实根， 且极大值大于0， 极小值小于0. |
| (13)证题中常用的不等式: ① ②≤ ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ sinx |
例题、【2019高考新课标1， 理21】已知函数f（x）=.
(Ⅰ)当a为何值时， x轴为曲线 的切线；
【答案】（Ⅰ）
跟踪练习：
1、(2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b， g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)， 且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a， b， c， d的值；
解：(1)由已知得f(0)＝2， g(0)＝2， f′(0)＝4， g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a， g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2， d＝2， a＝4， d＋c＝4.
从而a＝4， b＝2， c＝2， d＝2.
2、【2019高考新课标1， 理21】已知函数， 曲线在点处的切线方程为。
（Ⅰ）求、的值；
解：（Ⅰ）
由于直线的斜率为， 且过点， 故即
解得， 。
3、 (2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数， 曲线在点（1， 处的切线为. (Ⅰ)求；
【解析】：(Ⅰ) 函数的定义域为，
由题意可得 ， 故 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论
例题：【2019高考江苏， 19】
已知函数.
（1）试讨论的单调性；
【答案】（1）当时， 在上单调递增；
当时， 在， 上单调递增， 在上单调递减；
当时， 在， 上单调递增， 在上单调递减．
当时， 时， ， 时， ，
所以函数在， 上单调递增， 在上单调递减．
练习：1、已知函数.
⑴当时， 讨论的单调性；
答案：⑴，
令
①当时， ， 当,函数单调递减；当， 函数单调递增.
②当时， 由， 即， 解得.
当时， 恒成立， 此时， 函数单调递减；
当时， ,时， 函数单调递减；
时， ， 函数单调递增；
时， ， 函数单调递减.
当时， 当,函数单调递减；
当， 函数单调递增.
综上所述：当时， 函数在单调递减， 单调递增；
当时,恒成立,此时， 函数在单调递减；
当时,函数在递减,递增,递减.
2、已知为实数， 函数， 函数， 令函数．
当时， 求函数的单调区间．
解：函数， 定义域为．
当时， ．
令， 得． ……………………………………9分
①当， 即时， ．
∴当时， 函数的单调减区间为， ．………………11分
②当时， 解得．
∵，
∴令， 得， ， ；
令， 得． ……………………………13分
∴当时， 函数的单调减区间为， ， ；函数单调增区间为． …………15分
③当， 即时， 由（2）知， 函数的单调减区间为及
2、根据判别式进行讨论
例题：【2019高考四川， 理21】已知函数， 其中.
（1）设是的导函数， 评论的单调性；
【答案】（1）当时， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时， 在区间上单调递增.
【解析】（1）由已知， 函数的定义域为，
，
所以.
当时， 在区间上单调递增，
在区间上单调递减；
当时， 在区间上单调递增.
练习： 已知函数， ．
（1）求函数的单调区间；
解：函数的定义域为．
．
令， 得， 记．
（ⅰ）当时， ， 所以单调减区间为； …………5分
（ⅱ）当时， 由得，
①若， 则，
由， 得， ；由， 得．
所以， 的单调减区间为， ， 单调增区间为； …………………………………………………………7分
②若， 由（1）知单调增区间为， 单调减区间为；
③若， 则，
由， 得；由， 得．
的单调减区间为， 单调增区间为． ……9分
综上所述：当时， 的单调减区间为；
当时， 的单调减区间为， ， 单调增区间为；
当时， 单调减区间为， 单调增区间为． ………………………………………………………10分
2. 已知函数．
求函数的单调区间；
解：函数的定义域为， ． ……………1分
（1）当时， 在上恒成立，
则在上恒成立， 此时在上单调递减． ……………4分
（2）当时， ，
（ⅰ）若，
由， 即， 得或； ………………5分
由， 即， 得．………………………6分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． ……………………………………7分
（ⅱ）若， 在上恒成立， 则在上恒成立， 此时 在上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
例题：已知函数.
（1）若a=1， 求函数在区间的最大值;
（2）求函数的单调区间；
（3）若恒成立， 求的取值范围
解：（1）若a=1, 则．
当时, ,，
所以在上单调增, . ……………2分
（2）由于， ．
（ⅰ）当时， 则， ，
令， 得（负根舍去），
且当时， ；当时， ，
所以在上单调减， 在上单调增.……4分
（ⅱ）当时，
①当时， ,
令， 得（舍），
若， 即, 则， 所以在上单调增；
若， 即, 则当时， ；当时， ， 所以在区间上是单调减， 在上单调增. ……………………………………………6分
②当时, ,
令， 得， 记，
若， 即, 则， 故在上单调减；
若， 即,
则由得， 且，
当时， ；当时， ；当 时， ， 所以在区间上是单调减， 在上单调增；在上单调减. …………………………………………8分
综上所述， 当时,单调递减区间是 ， 单调递增区间
是；
当时, 单调递减区间是， 单调的递增区间是
；
当时, 单调递减区间是(0, )和，
单调的递增区间是和. ………………10分
（3）函数的定义域为．
由， 得． *
（ⅰ）当时， ， ， 不等式*恒成立， 所以；
（ⅱ）当时， ， ， 所以； ………………12分
（ⅲ）当时， 不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．
令， 则．
因为， 所以， 从而．
因为恒成立等价于， 所以．
令， 则．
再令， 则在上恒成立， 在上无最大值．
综上所述， 满足条件的的取值范围是． …………………………16分
2．设为实数， 函数
（2）求函数的单调区间
4、分奇数还是偶数进行讨论
例题：【2019高考天津， 理20已知函数， 其中.
(I)讨论的单调性；
【答案】(I) 当为奇数时， 在， 上单调递减， 在内单调递增；当为偶数时， 在上单调递增， 在上单调递减. (II)见解析； ()见解析.
(2)当为偶数时，
当， 即时， 函数单调递增；
当， 即时， 函数单调递减.
所以， 在上单调递增， 在上单调递减.
5、已知单调区间求参数范围
例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1， 2）是增函数， 求a的取值范围.
解：（1）， 的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1， 则， 且当且仅当a=1， x=-1， 故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0， 故当a<1时， 有两个根：，
若0 （2）当a>0， x>0时, ， 所以当a>0时， f（x）在区间（1， 2）是增函数. 若a<0时， f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且， 解得. 综上， a的取值范围是. 二、极值 （一）判断有无极值以及极值点个数问题 例题：【2019高考山东， 理21】设函数， 其中. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数， 并说明理由； （2）当 时， ①当时， ， 所以， ， 函数在上单调递增无极值； ②当 时， 设方程的两根为 因为 所以， 由可得： 所以， 当时， ， 函数单调递增； 当时， ， 函数单调递减； 当时， ， 函数单调递增； 因此函数有两个极值点． （3）当 时， 由可得： 当时， ， 函数单调递增； 当时， ， 函数单调递减； 因此函数有一个极值点． 综上： 当 时， 函数在上有唯一极值点； 当时， 函数在上无极值点； 当时， 函数在上有两个极值点； 例题：【2019高考安徽， 理21】设函数. （Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值， 有极值时求出极值； 【解析】 （Ⅰ）， . ， . 因为， 所以. ①当时， 函数单调递增， 无极值. ②当时， 函数单调递减， 无极值. ③当， 在内存在唯一的， 使得. 时， 函数单调递减；时， 函数单调递增. 因此， ， 时， 函数在处有极小值. （2）已知极值点个数求参数范围 例题：【14年山东卷（理）】 设函数（为常数， 是自然对数的底数） （）当时， 求函数的单调区间； （）若函数在内存在两个极值点， 求k的取值范围。 练习：1、【2019年天津卷（理）】 2、（2019湖南）（本小题满分13分） 已知常数， 函数. （Ⅰ）讨论在区间上的单调性； （Ⅱ）若存在两个极值点， 且， 求的取值范围. 【解析】（Ⅰ）,（*） 因为,所以当时, 当时,,此时， 函数在单调递增, 当时, （舍去）， 当时， ；当时， . 故在区间单调递减,在单调递增的. 综上所述 当时,,此时， 函数在单调递增, 当时, 在区间上单调递减,在上单调递增的. （Ⅱ）由（*）式知， 当时， 函数不存在极值点， 因而要使得有两个极值点， 必有， 又的极值点只可能是和， 且由的定义可知， 且， 所以， ， 解得， 此时， （*）式知,分别是的极小值点和极大值点， 而 令， 由且知 当时, 当时,记 （ⅰ）当时， ， 所以 因此， 在上单调递减， 从而， 故当时， （ⅱ）当时， ， 所以 因此， 在上单调递减， 从而， 故当时， 综上所述， 满足条件的的取值范围是为. 【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值， 不等式. （三）最值下载本文
