一、学习目标
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)
二、知识链接
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
※(2)另一种定义：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质
| 焦点在x轴上 | 焦点在y轴上 | |
| (1)图形 | ||
| (2)标准 方程 | －＝1(a＞0，b＞0) | |
| (3)范围 | x≥a或x≤－a | y≥a或y≤－a |
| (4)中心 | 原点O(0，0) | |
| (5)顶点 | A1(－a，0)，A2(a，0) | |
| (6)对称轴 | x轴，y轴 | |
| (7)焦点 | F1(0，－c)，F2(0，c) | |
| (8)焦距 | 2c＝2 | |
| (9)离心率 | ||
| (10)渐近线 方程 | y＝±x | |
3．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程．
(2)求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线．
(3)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
(4)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)．
4．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝＝．
(2)焦点到渐近线的距离为b．
(3)通径长为．
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2)．
三、导学指导与检测
| 导学 | 导学检测及课堂展示 |
| 双曲线的定义及标准方程 | 例1、(1)(2019－2020学年陕西汉中市高三上第五次质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|等于( ) A．1 B．13 C．1或13 D．15 (2)经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． (3)()已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程 为 ( ) A．－x2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－＝1 (4)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 【点拨】 ①双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出双曲线方程；二是在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．②求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算． 变式1、(1)已知双曲线－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积是 ( ) A．4 B．2 C．1 D． (2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________． (3)已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为－y2＝1，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为_______________． (4)已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，分别过点M，N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为 ( ) A．x2－＝1(x＞0) B．x2－＝1(x＞1) C．x2－＝1(x＞0) D．x2－＝1(x＞1) |
| 双曲线的几何性质 | 命题角度1 渐近线 例2、(1)()在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)，经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________． (2)()已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为c，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 【点拨】 求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是：令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x．反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
变式2、(1)()已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．2x±y＝0 (2)()设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 命题角度2 离心率
例3、(1)()已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． (2)经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A．[2，＋∞) B．(1，2) C．(1，2] D．(2，＋∞) 【点拨】 求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
变式2、(1)()在矩形ABCD中，AB＝2AD，以A，B为焦点的双曲线经过C，D两点，则此双曲线的离心率为 ( ) A． B． C． D．1＋ (2)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则离心率e的取值范围是_______________． |
A层
1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( )
(2)平面内到点F1(0，2)，F2(0，－2)的距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线． ( )
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． ( )
(5)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于1或17． ( )
2、()渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是 ( )
A． B．1 C． D．2
3、已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于 ( )
A． B．5 C．7 D．
4、()设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为 ( )
A．－＝1 B．x2－＝1
5、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_______________．
B层
1．()方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围为 ( )
A．(－3，0) B．(－1，3)
C．(－3，4) D．(－2，3)
2．()已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝20y的焦点重合，且双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则该双曲线的标准方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
3．()在平面直角坐标系中，过点(2，－)且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为 ( )
A．－＝1 B．－＝1
4．已知双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
5．()若双曲线－3y2＝12的离心率为2，则其渐近线方程 为 ( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x
6．()已知双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是E的右支上一点，则下列结论中不正确的是 ( )
A．|PF1|－|PF2|＝4
B．E的离心率是2
C．|PF1|的最小值是6
D．P到两渐近线的距离的乘积是2
7．(2020赣榆智贤中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且它的一个焦点为F(，0)，则过双曲线C的一个顶点且垂直于x轴的直线与两条渐近线所成的三角形的面积为________．
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．
C层
9．()设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
10．()已知A，B两监测点间的距离为800 m，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2 s，设声速为340 m/s，下列说法正确的是 ( )
①爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上；
②爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上；
③若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为 m；
④若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680 m．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
11．()设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则 a ＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
12．()设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为 ( )
A． B． C．2 D．
13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
五、堂清、日清记录
| 堂清 | 日清 |
| 课堂反思： |
