成都市川化中学 黄荣锋

引言  2008年4月，成都市川化中学举行了“教学建模月”活动，其中重点探究了“新授课”、“习题课”、“试卷评讲课”等三种模式课型的建模。我在其间承担了一节《组合习题课》的公开课的教学，结合这节课的教学，我谈谈对习题课的再认识。

波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。” “掌握数学就是意味着善于解题。” 习题课是数学教学活动的一个极为重要的形式．目前我国中学数学教学中，习题课教学占有较大的比例．在习题课教学中，师生通过对一些典型例题的分析讨论，使学生对所学过的基本概念、公式、定理及其运用有进一步的理解，以达到夯实基础的目的．在对例题解题策略的思考和解题方法的探求中，要启迪学生的思维，培养学生的品质，提高学生的能力．对于数学习题课的教学，我认为应该做好以下几方面的工作：

一、精心挑选例题：

1.例题选择要有针对性，即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。目标主要有两个方面，一是知识目标，二是技能目标，要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些思想方法，形成什么技能，这些都要有明确的目标。如果没有明确的目标，将成为简单的例题讲解和习题训练，使学习内容缺少完整的知识体系，知识之间难以很好地沟通和联系.例题的安排难以达到示范性，习题的安排也缺少典型性，揭示习题的规律性也有困难.所以缺少目标的习题课不仅有盲目性，还会降低教学效率，因此要有明确的教学目标.

  2.例题选择要注意可行性，即应在学生“最近发展区”内进行选择，不宜过易也不宜过难，要把握好“度”。 要注意题型的划分，习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心.我们坚决反对把难题放在前面，坚决反对把整套习题安排得太难，要避免打击学生做题的积极性。适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高.习题的安排，既要体现知识与方法，也要体现能力培养与积极性调动.

  3.例题选择要有研究性，典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的。选择例题要精，要有丰富内涵，既要注重结果，更要注重质量，以期“一题多解，达到熟悉；多解归一，挖掘共性；多题归一，归纳规律” 。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通法通解，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效.例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的思想方法，这样才能体现例题的典型性，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松.

  二、重视问题分析：

1.传授波利亚《怎样解题》的解题观：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾总结。在每次习题课前要向学生强调解题的一般步骤。针对具体习题，若发现大多数学生对这道题都有问题。老师就应让他们暂时停下来，帮他们分析解题思路，找出入手点，可以用那些具体的解题方法，中间可能用到那些具体的知识点。题目解完后，应该进行回顾总结：在解题过程中，我们用到了那些数学思想方法，采用了那些常用技巧，还可以解决那些类型的问题。

2.发挥学生主体作用，让学生自己分解目标，进行知识点定位，寻找问题突破点，选择解题方法。在习题课中，对每个问题，老师要尽量让学生来说明他们的思路和解法。遇到学生回答有错误的地方，尽量让其他同学来给其指出。例如本节课的一个引申题：以正方体的八个顶点为顶点四棱锥有多少个？有个学生就首先站起来说应该是八个顶点中选五个顶点的组合数。我就让同学们分组讨论，自由发表意见，把那位学生的错误原因展现出来，并给出了正确的解法。

3.引导学生多角度思考问题，强化等价转化与化归思想，一题多解，培养学生的发散性思维。这节课的大部分问题，基本都有两种以上的解法，不同的学生有不一样的思考角度。我也注意让同学们把每种对应的解法都展现出来，注重培养他们的发散思维。

4.注重思维方法和品质的培养，如逆向思维，正难则反，类比思想等，要求思维严谨，逻辑严密，切忌会而不对，对而不全。

三、注意反思引申：

1.注意对同一知识点的题型的归纳。在习题课当中，针对组合应用题的特点，老师要把它归纳成为几何问题、抽样问题、分组问题三种类型，这样就有利于学生对这一知识点更加条理化的理解。

2.注意对同一题型的解题方法的归纳。比如这节课中反复强调的解决排列组合问题最常用的直接法和间接法等。

3.注意对特殊问题一般化的追求。比如这节课中的问题二，我就对三个不同的题目归纳到一起，采取了类似的处理方法。

  如果能够把以上三方面的处理措施落实到平常的习题课教学中，我们就能少走许多弯路，真正提高课堂效益，也对培养学生思维品质，提高其解题能力大有裨益。

附件  《组合习题课》简案

组合习题课

 （教材分析）

一、组合应用题一般也分两类，即无条件和有条件的组合问题。常见的题型有：（1）抽样问题；（2）分组问题；（3）几何问题。

二、解组合应用问题的注意点

1）认真审题，根据题意分析事件是什么？

是哪类的组合问题？有无条件？通过怎样的程序来完成？

（2）弄清条件，注意特殊元素，优先考虑特殊元素

（3）恰当分类，合理分步

三、解组合应用问题的基本思路和常见方法：

（1）基本思路是直接分析和间接考察两类

（2）常见方法有：特殊元素、特殊位置法，间接法，分类记数法等

（例题讲解）

第一部分 几何问题

问题一：平面内有10个点，其中有某4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上

（1）可以确定多少条直线？

直接法： 

间接法

（2）可以确定多少个三角形？

间接法：

直接法

（3）可以确定多少个四边形？

直接法 

间接法

问题二  以正方体的八个顶点为定点的三棱锥有多少个？

变式

（1）以正方体的八个顶点为顶点的四棱锥有多少个？

（2）正方体的八个顶点两两连线中有多少对异面直线？

第二部分 抽样问题

问题三  某班有50名学生，其中其中有一名班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,至少有一名班长参加（正副均可）,共有 n 种不同的选法,其中错误的是（  C ）

A

B  

C

问题四，   有6名儿童,其中3名会唱歌,2名会跳舞,1名既会唱歌也会跳舞,现从中选出2名会唱歌的1名会跳舞的去参加文艺演出,共有多少种不同的选法?

方法一

方法二

第三部分 分组问题

问题五  8本不同的书，按以下方式，各有多少种不同的分法？

（1）平均分给甲乙丙丁四人。

（2）平均分成4堆。

问题六  4个不同的球放入四个不同的盒子，把球全部放入盒内，恰有2个盒子不放球，有几种放法？

（总结）

解答组合问题的总体思路是：

（1）整体分类

（2）局部分步

（3）考查顺序

（4）辩证地看待“元素” 与“位置”

（5）善于利用组合模型下载本文