一、复数多选题

1．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）．

A．

B．

C．若，则复平面内对应的点位于第四象限

D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

答案：AD

【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D.

【详解】

，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误；

，则，

解析：AD

【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D.

【详解】

，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误；

，则，

其对应复平面的点的坐标为，位于第三象限，则C错误；

令，，

，解得

则在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确；

故选：AD

【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

2．已知复数，下列结论正确的是（    ）

A．“”是“为纯虚数”的充分不必要条件

B．“”是“为纯虚数”的必要不充分条件

C．“”是“为实数”的充要条件

D．“”是“为实数”的充分不必要条件

答案：BC

【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.

【详解】

设，则，

则，若，则，若，则不为纯虚数，

所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC

【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.

【详解】

设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数，

所以，“”是“为纯虚数”必要不充分条件；

若，即，可得，则为实数，“”是“为实数”的充要条件；

，为虚数或实数，“”是“为实数”的必要不充分条件.

故选：BC.

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.

3．（多选）表示(    )

A．点与点之间的距离 ．点与点之间的距离

C．点到原点的距离 ．坐标为的向量的模

答案：ACD

【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D

【详解】

由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B

解析：ACD

【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D

【详解】

由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确,

故选:ACD

【点睛】

本题考查复数的几何意义,考查复数的模

4．以下命题正确的是（    ）

A．是为纯虚数的必要不充分条件

B．满足的有且仅有

C．“在区间内”是“在区间内单调递增”的充分不必要条件

D．已知，则

答案：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于A选项，若复数为纯虚数，则且，

所以，是为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；

对于B选项，解方程得，B选项错误；

对于C选项，当时，若，则函数在区间内单调递增，

即“在区间内”“在区间内单调递增”.

反之，取，，当时，，

此时，函数在区间上单调递增，

即“在区间内”“在区间内单调递增”.

所以，“在区间内”是“在区间内单调递增”的充分不必要条件.

C选项正确；

对于D选项，，，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

5．已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（    ）．

A． ．的虚部为

C．的共轭复数为 ．

答案：AB

【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.

【详解】

解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 

选项A: 

选项B: 的虚部是 

选项C:

解析：AB

【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.

【详解】

解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 

选项A: 

选项B: 的虚部是 

选项C: 的共轭复数为 

选项D:  

故选：AB．

【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.

求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解．

6．下面四个命题，其中错误的命题是（    ）

A．比大 ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数

C．的充要条件为 ．任何纯虚数的平方都是负实数

答案：ABC

【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC

【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，，但与不互为共轭复数，B选项错误；

对于C选项，由于，且、不一定是实数，若取，，则，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数，则，D选项正确.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

7．已知复数的共轭复数为，且，则下列结论正确的是（    ）

A． ．虚部为 ． ．

答案：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．

【详解】

由可得，所以，虚部为；

因为，所以，．

故选：ACD．

【

解析：ACD

【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．

【详解】

由可得，，所以，虚部为；

因为，所以，．

故选：ACD．

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数算能力，属于基础题．

8．已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是(    )

A．z不可能为纯虚数 ．若z的共轭复数为,且,则z是实数

C．若,则z是实数 ．可以等于

答案：BC

【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.

【详解】

当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由

解析：BC

【分析】

根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.

【详解】

当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误.

故选：BC

【点睛】

本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.

9．已知复数则（    ）

A．是纯虚数 ．对应的点位于第二象限

C． ．

答案：AD

【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.

【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，对应的

解析：AD

【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.

【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；

对于C选项，，则，故C错；

对于D选项，，则，故D正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

10．是虚数单位，下列说法中正确的有（    ）

A．若复数满足，则

B．若复数，满足，则

C．若复数，则可能是纯虚数

D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限

答案：AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题

解析：AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.

【详解】

A选项，设，则其共轭复数为，

则，所以，即；A正确；

B选项，若，，满足，但不为；B错；

C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错；

D选项，设，则，

所以，解得或，则或，

所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.

故选：AD.

11．已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（    ）

A．在复平面内对应的点位于第二象限 ．

C．的实部为 ．的虚部为

答案：ABC

【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.

【详解】

对选项由题得

.

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC

【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.

【详解】

对选项由题得

.

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确；

对选项，因为，所以选项正确；

对选项复数的实部为，所以选项正确；

对选项,的虚部为,所以选项错误.

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知复数（其中为虚数单位），则（    ）

A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限 ．可能为实数

C． ．的实部为

答案：BC

【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.

【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC

【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.

【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选项错误；

当，时，复数是实数，故B选项正确；

，故C选项正确：

，的实部是，故D不正确.

故选：BC

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

13．已知复数（其中为虚数单位，则以下结论正确的是（    ）．

A． ． ． ．

答案：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断.

【详解】

，

，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断.

【详解】

，

，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

14．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为 ．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上 ．与z对应的点Z间的距离的最小值为

答案：ACD

【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确

解析：ACD

【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.

【详解】

复数在复平面内对应的点为，A正确；

复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；

设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；

易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.

15．已知复数，则（     ）

A． ．的虚部是

C．若，则， ．

答案：CD

【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，取，则，A选项错误；

对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；

解析：CD

【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，取，则，A选项错误；

对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；

对于C选项，若，则，，C选项正确；

对于D选项，，D选项正确.

故选：CD.

【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.

16．已知复数Z在复平面上对应的向量则（    ）

A．z=-1+2i ．|z|=5 ． ．

答案：AD

【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量，

所以，|z|=，

故选：AD

解析：AD

【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.

【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量，

所以，，|z|=，，

故选：AD

17．已知复数(i为虚数单位)，则下列说法错误的是（    ）

A．z的实部为2 ．z的虚部为1 ． ．

答案：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

因为复数，

所以z的虚部为1，

故AC错误，BD正确.

故选：AC

解析：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

因为复数，

所以z的虚部为1，，

故AC错误，BD正确.

故选：AC

18．（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（    ）

A． ． ． ．

答案：BC

【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.

【详解】

根据题意，中，

时，；

时，

；时，；

时，

.

选项A中，；

选项B中，；

选项C中，；

选项D中，.

解析：BC

【分析】

根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.

【详解】

根据题意，中，

时，；

时，

；时，；

时，，

.

选项A中，；

选项B中，；

选项C中，；

选项D中，.

故选：BC.

【点睛】

此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.

19．复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的实部为 ．的虚部为2 ． ．

答案：AD

【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.

【详解】

解：由知，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误；

，C错误；，D正确；

故选:A

解析：AD

【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.

【详解】

解：由知，，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误；

，C错误；，D正确；

故选:AD.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.

20．已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（    ）

A．复数的模

B．若复数，则（即复数的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限

C．若复数是纯虚数，则或

D．对任意的复数，都有

答案：AB

【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．

【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四

解析：AB

【分析】

求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．

【详解】

解：对于，复数的模，故正确；

对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；

对于，若复数是纯虚数，

则，解得，故错误；

对于，当时，，故错误．

故选：．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．

21．已知i为虚数单位，下列说法正确的是(    )

A．若，且，则

B．任意两个虚数都不能比较大小

C．若复数，满足，则

D．的平方等于1

答案：AB

【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误．

【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；

对于选项B，

解析：AB

【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误．

【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

对于选项C，∵若复数，满足，则，故不正确；

对于选项D，∵复数，故不正确；

故选：AB．

【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.

22．设，，为虚数单位，则以下结论正确的是（  ）

A．对应的点在第一象限 ．一定不为纯虚数

C．一定不为实数 ．对应的点在实轴的下方

答案：CD

【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.

【详解】

，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误

解析：CD

【分析】

利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.

【详解】

，，

所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；

当，即或时，为纯虚数，故B错误；

因为恒成立，所以一定不为实数，故C正确；

由选项A的分析知，对应的点在实轴的上方，所以对应的点在实轴的下方，故D正确.

故选：CD.

【点睛】

本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.下载本文