二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.
1.代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.
1.1 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个条件“确定”这三个参数.
例1 已知，满足1且，求的取值范围.
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个条件，先用和来表示.
解：由，可解得：
（*）
将以上二式代入，并整理得
,
∴ .
又∵，,
∴ .
例2 设，若，，, 试证明：对于任意，有.
分析：同上题，可以用来表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，
当时，
综上，问题获证.
1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
例３ 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.
证明：由题意可知.
,
∴ ,
∴ 当时，.
又,
∴ ,
综上可知，所给问题获证.
1.3紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
例4 已知函数。
（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。
解：(1)
(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以
，
于是
即
（3）.
设，则.
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立. （*）
故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，
解之得：.
此时，，故在取得最小值满足条件.
2. 数形结合
二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
2.1 二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.
解：由题意 .
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ，故 .
2.2 二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.
例6 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设，则的二根为和.
（1）由及，可得 ，即，即
两式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.
2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知：，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，则在上单调，故当时，
∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴ 此时问题获证.
综上可知：当时，有.
