高一数学
命题人：范铯 审题人：程正科
本试卷由两部分组成。第一部分：期中前基础知识和能力考查，共57分；第二部分：期中后知识考查，共93分。全卷共计150分，考试时间为120分钟。
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第I卷 （本卷共计57分）
一．选择题：共5小题，每小题5分，共25分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.集合，，则
A． B． C． D．
2.若，，，则有
A． B． C． D．
3.函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
4. 函数则
A． B． C． D．
5.已知定义域为R的偶函数在(－∞，0]上是减函数，且，则不等式的
解集为
A． B． C． D．
二．填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上。
6.计算 ．
7.已知符号函数，则函数的零点个数为
三．解答题：共2小题,共22分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8. (本小题满分10分)
已知函数，其中为常数.
(1)若，判断函数的奇偶性；
(2) 若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值.
9.(本小题满分12分)
已知函数().
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围．
第Ⅱ卷（本卷共计93分）
四．选择题：共7小题，每小题5分，共35分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
10．已知直线不经过第三象限，则应满足
A．， B．， C．， D．，
11．在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于
A． B． C． D．
12．已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是
A．, , B．，，
C．，， D．，，
13. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为
A． B． C． D．
14．已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为
A．90度 B．120度 C．150度 D．180度
15. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，
则实数的取值范围是
A． B． C． D．
16．设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为
A． B． C． D．
五.填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上。
17．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，
则该几何体的体积等于___________
18．半径为，且与圆外切于原点的
圆的标准方程为_____________________
六．解答题：共4小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，
。平面，点为的中点。
（1）求证：平面；
（2）求证：.
20. (本小题满分12分)
已知圆过点和，且与直线相切。
(1)求圆的方程；
(2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点
的轨迹方程.
21.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1) 求证：；
(2) 若，求锐二面角的大小。
22．（本小题满分12分）
已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。
深圳市高级中学2015—2016学年第一学期期末测试
高一数学
命题人：范铯 审题人：程正科
本试卷由两部分组成。第一部分：期中前基础知识和能力考查，共57分；第二部分：期中后知识考查，共93分。全卷共计150分，考试时间为120分钟。
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第I卷 （本卷共计57分）
一．选择题：共5小题，每小题5分，共25分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.集合，，则 D
A． B． C． D．
2.若，，，则有 B
A． B． C． D．
3.函数的零点所在的区间为 C
A． B． C． D．
4. 函数则 A
A． B． C． D．
5.已知定义域为R的偶函数在(－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为 A
A． B． C． D．
二．填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上。
6.计算 ．
7.已知符号函数，则函数的零点个数为 3
三．解答题：共2小题,共22分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8. (本小题满分10分)
已知函数，其中为常数.
(1)若，判断函数的奇偶性；
(2) 若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值.
解：（1）当时，，其定义域为R.
此时对任意的，都有
所以函数在其定义域上为奇函数。
（2）若函数在其定义域上是奇函数，则对定义域内的任意，有：
整理得：，即：对定义域内的任意都成立。
所以
当时，，定义域为R；
当时，，定义域为.
所以实数的值为或.
9.(本小题满分12分)
已知函数().
(1)若，求的单调区间；
(2)若函数的定义域为，求实数的取值范围．
解：（1）当时，
，即，解得：
所以函数的定义域为
设，则关于在为增函数。
由复合函数的单调性，的单调区间与的单调区间一致。
二次函数的对称轴为
所以在单调递增，在单调递减。
所以的单调增区间为，单调减区间为。
（2）当时，为常数函数，定义域为，满足条件。
当时，的定义域为等价于恒成立。
于是有，解得：
综上所述，实数的取值范围是。
第Ⅱ卷（本卷共计93分）
四．选择题：共7小题，每小题5分，共35分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
10．已知直线不经过第三象限，则应满足
A．， B．， C．， D．，
11．在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于 A
A． B． C． D．
12．已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 D
A．, , B．，，
C．，， D．，，
13. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为 C
A． B． C． D．
14．已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 D
A． B． C． D．
15. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，
则实数的取值范围是 B
A． B． C． D．
16．设三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为
A． ． ． ．
五.填空题：共2小题,每小题5分,共10分,把答案填在答卷卡的相应位置上。
17．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的
第8题图
体积等于___________
第17题图
18．半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程为
______________________
六．解答题：共4小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，
，。平面，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
(1)证明:连接，与相交于点, 连接，
∵是平行四边形，
∴是的中点.
∵为的中点，
∴.
∵平面,平面,
∴平面. (2)证明:∵平面，平面，
∴.
方法1：
∵，设，，过点作的垂线交于点。
∵，
∴
∵ ∴
∴.
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
方法2：
∵，，
∴
.
∴.
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
20. (本小题满分12分)
已知圆过点和，且与直线相切。
(1)求圆的方程；
(2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程.
解：（1）圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则：
圆的标准方程为，
由点在圆上得：，
又圆与直线，有.
于是
解得：，或
所以圆的标准方程为，或
（2）设点坐标为，点坐标为，
由为的中点，则，即：
又点在圆上，
若圆的方程为，有：，
则，整理得：
此时点的轨迹方程为：.
若圆的方程为，有：，
则，整理得：
此时点的轨迹方程为：
综上所述：点M的轨迹方程为，或
21.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且
(1) 求证：；
(2) 若，求锐二面角的大小。
解：（1）证明：如右图，取的中点，连接，
因，则 ……………1分
由平面侧面，且平面侧面，
得， ………………3分
又平面，
所以. …………………4分
因为三棱柱是直三棱柱，
则，
所以. …………………5分
又，从而侧面，
又侧面，故. ………………7分
（2）解： 过点A作于点，连.
由（1）知，则，且
∴即为二面角的一个平面角 …………………9分
且直角中： …………………10分
又，
∴ ， …………………11分
由二面角为锐二面角 ∴，
即二面角的大小为 …………………12分
22．（本小题满分12分）
已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．
（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标。
解：（1）直线的方程为，点在直线上，设，
由题可知，所以，
解之得：故所求点的坐标为或．
（2）易知直线的斜率一定存在，设其方程为：，
由题知圆心到直线的距离为，所以，
解得，或，
故所求直线的方程为：或．
（3）设，则的中点，因为是圆的切线，
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或
所以经过三点的圆必过定点或。
