应力、应变都是用来描述物体受载后的反应。应力描述物体内部各点的受力状态，应变描述物体内微元体的变形。

一、应力

1.应力的定义

可变形固体在外力等因素作用下，其内部各部分之间就要产生相互的作用。这种物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力，称为内力。我们采用截面法来研究作用在截面上的内力。一般情况下，内力沿整个截面的分布不是均匀的。工程上不仅需要知道截面上总的内力大小，而且还需要知道内力在截面上各点的分布情况。为此，在截面上任一点M附近画出一块微小的面积。根据连续性假定，作用在微小面积上的内力应是连续分布的，记为其合力，用这个极小的面积来代替一点。n表示这面积的外法线方向。表示在上的平均值。利用极限求出:

极限就定义为截面上该点的应力。应力的国际单位为N/m2或者Pa。

2.一点的应力状态

应力只是描述特定的某一截面上点的受力情况，要搞清楚一点的受力状况，就要弄清楚该点的各个截面上的应力情况。

过物体内某一点M分别截取三个互相垂直的微分面，并使这三个微分面的外法线方向分别与三个坐标轴的方向一致，不失一般性地假设为与三个坐标轴的正方向一致。则三个微分面上的应力矢量可分别表示为：

上式中出现了9个应力分量，这9个应力分量作为一个整体组成了一个所谓的二阶张量，称之为应力张量。而其中的每一个量，就称为应力张量的分量。记应力张量为，并表示为

3.一点应力状态的描述

过物体内任意一点M作三个互相垂直并与坐标平面平行的微分面，并在点M附近作一个与坐标轴倾斜的任意微分面，知道三个互相垂直微分面的受力情况即上述的二阶张量，利用平衡，可推出与坐标轴倾斜的任意微分面上的受力情况。即只要知道一点的应力张量则该点处的应力状态也就完全确定了。

4.应力张量的坐标变换规律

应力张量是一个二阶张量，在数学上，应力张量的各个分量在坐标变换时，应服从二阶张量的坐标变换规律。

5.主应力和主应力空间

只有正应力分量而没有剪应力的微分面称为主平面，其法线方向称为应力主方向，简称主方向，其上的正应力就称为主应力。

在物体内的同一点处，存在三个互相垂直的主方向，把这三个互相垂直的主方向取为坐标系的坐标轴方向，依此建立起来的几何空间，称为主应力空间，该空间中的三个坐标轴称为应力主轴。

由于主应力的大小与坐标选择无关，求解主应力时的应力状态的特征方程的三个系数也与坐标的选择无关，它们分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。数学上，应力张量的三个不变量反映了张量具有不变性的特点；物理上，应力张量的三个不变量反映了物体在特定的外部因素作用下，内部各点的应力状态不随坐标的改变而变化的性质。

6.球形应力张量和偏斜应力张量

若物体内存在这样一点，其相应的三个主应力均相等，该点的应力张量称为球形应力张量或应力球张量。如果物体内一点处于球形应力状态下，通过该点的微分单元体只会均匀膨胀或缩小，也就是说，只会产生体积上的变化，而不会发生形状上的变化。

偏斜应力张量反映了一个实际的应力状态偏离均匀应力状态的程度。

球形应力张量代表的应力状态不会引起塑性变形，或者说与塑性变形无关，而认为塑性变形是由偏斜应力张量代表的应力状态所引起的。应当注意，这个结论是对金属类材料而言，对于非金属材料，如混凝土、岩土等一类材料则不成立。

7.八面体应力与应力强度

在主应力空间里，通过物体内任一点M这样的一个微分面，该微分面的外法向n与三个应力主轴呈等倾斜，这样的微分面共有8个，它们组成一个包含点M在内的无限小的正八面体，这些微分面上的应力就称为八面体应力。

八面体剪应力对塑性理论具有重要意义，为了使用方便，将它乘以，称之为应力强度。应力强度在某种意义上说，是将一个复杂应力状态化作为一个具有相同“效应”的单向应力状态。所以，又称为有效应力。

二、应变

1.应变的定义

在自然界中并不存在刚体，所有物体在某种程度上都是可以变形的，也就是说，在力的作用下，实际物体质点之间的距离总是要发生变化的。受力零件和构件上的每一点都可取一个微小的正六面体，称为单元体。单元体任一边的线长度的相对改变称为线应变或正应变；单元体任意两边所夹直角的改变称为角应变或切应变，以弧度来度量。线应变和角应变是度量零件内一点处变形程度的两个几何量。零件变形后，单元体体积的改变与原单元体体积之比，称为体积应变。线应变、角应变和体积应变都是无量纲的量。当单元体各个面上的切应力都等于零，而只有正应力作用时，称该单元体为主单元体，它的各个面称为主平面，各主平面交线的方向称为主方向。沿主方向的线应变称为主应变。当外力卸除后，物体内部产生的应变能够全部恢复到原来状态的，称为弹性应变；如只能部分地恢复到原来状态，其残留下来的那一部分称为塑性应变。应变张量如图

设三条棱边分别为MA,MB,MC，变形后为M'A',M'B',M'C'。则

这里有6个分量，其中根据剪应力互等定理可得

于是这里有9个分量，这9个分量就能清楚地表达平行六面体的形状变化。为了将这9个分量写成张量形式并且满足张量的性质，对剪应变做处理，写成

2.柯西方程和工程剪应变

在位移场中分析六面体微分元的应变，可得出表示应变的几何方程即柯西方程。前提条件为连续性假设和小变形假设。

将柯西方程与应变张量比较，应变张量分量、和即为正应变，应变张量分量、和与剪应力分量、、之间的关系：、、。把剪应力分量、、称为工程剪应变。

3.应变张量的性质

和应力张量的性质类似，任一点的应变状态完全可以用该点得应变张量描绘。存在应变张量的第一、第二和第三不变量。存在主应变，主应变空间。应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量。

4.体积应变

如果用表示单位体积的变化即体积应变，则

5.应变协调方程

六个应变分量是通过三个位移分量表示的，它们之间必然存在一定的联系，即应变协调方程。要使以位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。应变分量满足应变协调方程，是保证物体连续的一个必要条件，如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通物体，一定能通过几何方程的积分求得单值连续的位移分量。对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程的充分必要条件是物体是连续的而且被割开后的区域里满足单值连续函数，满足，，。下载本文