一、计算题
无论小升初还是各类数学竞赛，都会有计算题出现。计算题并不难，却很容易丢分，原因：1、数学基础薄弱。 计算题也是对考生计算能力的一种考察，并非平常所说的马虎、粗心造成的。而且这种能力对任何一个学生来说，都是很重要的，甚至终身受益，这就是为什么中小学学习阶段，“逢考必有计算题”的重要原因了！ 2、心态上的轻视。很多学生称做计算题为“算数”题，在心理上认为很简单，一来不认真做，二来，把更多的精力放在了应用题等看起来很难的题目上了。
二、行程问题
我们任意翻开一套试卷，只要是一套综合的测试，大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。 所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。所以很多学生甚至说，“学好了行程，就肯定能得高分”。
三、数论问题
在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
四、几何问题
几何问题主要考察是考生的观察能力甚至空间想象能力，有时需要添加辅助线才能完成，对培养孩子动手甚至创新能力很有帮助。
典型题：
一、简便计算：
（1） （2）
（3）
①
②
②-①得：
（4）
二、行程问题
1．羊跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离羊跑7步，现在羊已跑出30米，马开始追它。问：羊再跑多远，马可以追上它？
【解】 根据“马跑4步的距离羊跑7步”，可以设马每步长为7x米，则羊每步长为4x米。根据“羊跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3×7x米＝21x米，则羊跑5×4x＝20米。 可以得出马与羊的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在羊已跑出30米”，可以知道羊与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
【解】由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
【解】600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）÷2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
600÷50=12分钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？
【解】可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
【解】300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）
【解】算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒
关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。
7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
【解】由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完
8． AB两地，甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5，如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行驶，40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行，这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
【解】设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72 y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
90-72=18（分钟）
9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
【解】通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。
因此360÷（1+1/5）＝300千米
10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时，逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？
【解】（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率
2÷1/48＝96千米表示总路程
11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
【解】相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时
6*33＝198千米
12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车，3分之2乘车；从乙地返回甲地，5分之3骑车，5分之2乘车，结果慢了半小时。已知骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相距多少千米?
【解】把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时
去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75
路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）
三、数论问题
1、已知四位数的个位数与千位数之和为10，个位数既是偶数又是质数，百位数与十位数组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，则所有满足条件的四位数中最大的是多少？
【解】因为个位数既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又因为个位数与千位数之和为10，所以千位数字为8，因为这个四位数能被36整除，所以能被4与9整除，由于个位数与千位数之和为10，所以百位数与十位数的和除以9余8，又因为百位数与十位数之和不超过18，所以百位数与十位数的和为8或17。由于能被4整除，所以后两位数能被4整除，由于个位数字为2，所以十位数字只能为1,3,5,7,9，若百位数字为9，由于十位数字为奇数，所以其和不能等于8或17，所以百位数字最大为8，此时个位数字为9，且是质数，符合题意，故答案为82.
2、已知A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]=1728，则B=_______。
【解】1728=26×33，由于A数有7个因数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以A=26，那么33为B的因数，设B=26×33，则（k+1）×（3+1）=12，得k=2.所以B=22×33。
3、22008+20082除以7的余数是__________。
【解】23=8除以7的余数为1，2008=3×669+1，所以22008=23×669+1=（23）669×2，其除以7的余数为：1669×2=2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008+20082除以7的余数为：2+1=3。
4、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为______。
【解】设这样的四位数为abcd，则abcd+a+b+c+d=2008，即1001a+101b+11c+2d=2008，则a=1或2。
（1）若a=2，则101b+11c+2d=6，得b=c=0，d=3，abcd=2003；
（2）若a=1，则101b+11c+2d=1007，由于11c+2d≤11×9+2×9=117，所以101b≥1007-117=0，所以b＞8，故b>8，故b为9,11c+2d=1007-909=98，则c为偶数，且11c≥98-2×9=80，故c>7，由c为偶数知c=8，d=5，abcd=1985；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：2003+1985=3988。
5、在1,2,3，……，7,8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有_______种。
【解】这8个数之间如果有公因数，那么无非是2或3。
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况。
奇数的排列一共有4！=24种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24种，所以一共有24×3×24=1728种。
6、将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是__________。
【解】200÷10=20，即这10个质数的平均数为20，那么其中最大的数不小于20，又要为质数，所以至少应为23；而由200=23×8+11+5可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5，满足条件，所以符合题意的最大质数为23。
7、设a、b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对（a,b）共有_________组。
【解】先将9504分解质因数：9504=25×33×11，（a,b）所含2的幂的情况可能是（0,5），（1,5），（2,5），（3,5），（4,5），（5,5）；（5,0），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有11×7×3=231种。
四、几何问题
1、图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积。
【解】如下图，设半圆的圆心为O，连接OC。
从图中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根据勾股定理可得BC=12。
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
为π×202×1/2-（16×2）×12=200π-384=244
2、求下图中阴影部分的面积：
【解】如左上图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右上图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56
3、如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米，那么最大的一个三角形的面积是________平方米。
【解】剩下两个三角形的面积和是48-7-9=32，是右侧两个三角形面积和的2倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是9×2=18。
4、已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？
【解】连接FC，有FC平行于DB，则四边形BCFD为梯形。
有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然，△DBC的面积为10×10÷2=50（平方厘米），即阴影部分△DFB的面积为50平方厘米。
5、用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【解】不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，所以总计9×2+7×4=18+28=46。
6、如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多少？
【解】连接EC，如图，因为AC=3AD，△AED与△AEC中AD、AC边上的高相同，所以△AEC的面积是△AED面积的3倍，即△AEC的面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC的面积是△AEC面积的4倍，所以△ABC的面积是6×4=24（平方厘米）。
7、将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是多少？
【解】如图，连接CD、BF，则
△ADC的面积=△ABC的面积=1
△BDE的面积=△BCD的面积×2=（1+1）×2=4
△CDF的面积=△ADC的面积×3=3
△BCF的面积=△ABC的面积×3=3
△BEF的面积=△BCF的面积×2=6
△DEF的面积=△ABC的面积+△ADC的面积+△BDE的面积+△CDF的面积+△BCF的面积+△BEF的面积=1+1+4+3+3+6=18。下载本文
