高二数学

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

命题：高二数学备课组审稿：贺丽珍

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线0x y +=的倾斜角为（）

A.45︒

B.60︒

C.90︒

D.135︒

2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）

A.22(2)5x y ++=

B.22(2)5

x y +-=C.22(2)5x y -+= D.22(2)5

x y ++=3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B

相等的是（）

A.a b c +-

B.a b c ++

C.a b c -+

D.a b c

-- 4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）

A.1

B.1-

C.2

D.2

-5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）

A.20x y --=

B.20

x y +-=C .0x y -= D.0

x y +=6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）

A.BD 1∥GH

B.BD ∥EF

C.平面EFGH ∥平面ABCD

D.平面EFGH ∥平面A 1BCD 1

7.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：

①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；

②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；

③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；

④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .

其中，正确结论的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4

9.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（

）

A.(,2-∞-

B.)2∞

⎡++⎣

C.22⎡-+⎣

D.[(),22∞∞--⋃++10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（

）A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.

12.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.

13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A

D MN -的体积为__________.

14.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.

16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；

③存在只经过一个整点的直线l ；

④存在只经过两个不同整点的直线l .

三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12

AF AB BC FE AD ====.

（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；

（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.

18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.

（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上.

条件①：2BC =；

条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .

从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：

（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；

（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为

5，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.

注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.

20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为

()2121,A B x x y y ρ=-+-.

（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；

（2）已知点(

)1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足

①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

北京一零一中2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线0x y +=的倾斜角为（）

A.45︒

B.60︒

C.90︒

D.135︒

【答案】D

【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．

【详解】由0x y +=，得y x =-，故斜率为1k =-，因tan θk =，所以倾斜角135θ=︒．

故选：D ．

2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）

A.22(2)5x y ++=

B.22(2)5

x y +-=C.22(2)5x y -+= D.22(2)5

x y ++=【答案】C

【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.

【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，

因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，

所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为

22(2)5x y -+=，

故选：C.

3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B

相等的是（）

A.a b c +-

B.a b c ++

C.a b c -+

D.a b c

-- 【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c ===

，

可得1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-

.

故选：A.

4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）

A.1

B.1-

C.2

D.2

-【答案】B

【分析】

求出直线AB 的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数a 的值.【详解】21

121AB k +==+，由于//l AB ，则直线l 的斜率为1即1

1a -=，1

a =-故选：B

5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）

A.20x y --=

B.20

x y +-=C.0x y -= D.0

x y +=【答案】C

【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.

【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10

112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，

故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.

故选：C.

6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）

A.BD 1∥GH

B.BD ∥EF

C.平面EFGH ∥平面ABCD

D.平面EFGH ∥平面A 1BCD 1

【答案】D

【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．

【详解】易知GH ∥D 1C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD 1，GH 不可能互相平行，故选项A 错误；

易知EF ∥A 1B ，与选项A 同理，可判断选项B 错误；

因为EF ∥A 1B ，而直线A 1B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，所以平面EFGH 与平面ABCD 相交，选项C 错误；

对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：

由E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，

得出1//EF A B ，11//EH A D ，

所以//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，

又EF EH E = ，所以平面//EFGH 平面11A BCD ．

故选：D ．

7.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l ⊂

α；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．

考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：

①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；

②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；

③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；

④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .

其中，正确结论的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【分析】由题意，作图，利用线面垂直判定定理，以及线面角定义，结合三角函数的定义，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BB C C ，由1BC ⊂平面11BB C C ，则1CD BC ⊥，在正方形11BB C C 中，11CB BC ⊥，

因为1CB CD C ⋂=，且1,CD CB ⊂平面11CDA B ，所以1BC ⊥平面11CDA B ，

因为11,DA CA ⊂平面11CDA B ，所以11BC DA ⊥，11BC CA ⊥，故①②正确；

同理可得11A C ⊥平面11BB D D ，垂足为E ，所以1EBC ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2

，1BC =

1EC =

，则1111sin 2EC EBC BC ∠==，即130EBC ∠= ，故③错误；

易知1CBC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，由11tan 1CC CBC BC ∠=

=，则145CBC ∠= ，故④正确.故选：C.

9.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（

）

A.(,2-∞-

B.)2∞

⎡++⎣

C.22⎡-+⎣

D.

[(),22∞∞

--⋃++【答案】D

【分析】利用直线与圆相切的性质可得m ，n 的关系式，再借助均值不等式求解能求出m n +的取值范围．

【详解】,m n ∈R ,直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，

圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心(1,1)，半径1r =，

1=，整理得()1mn m n =++，2(

2m n mn + ，2()()12

m n m n +∴++，2()4()40m n m n ∴+-+-，

解得2m n +-或2m n ++，

m n ∴+

的取值范围是[()

,22∞∞

--⋃++故选：D 10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）

．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（

）

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

【答案】A

【详解】设P 1=f α（P ），则根据题意，得点P 1是过点P 作平面α垂线的垂足

∵Q 1=f β[f α（P ）]=f β（P 1），

∴点Q 1是过点P 1作平面β垂线的垂足

同理，若P 2=f β（P ），得点P 2是过点P 作平面β垂线的垂足

因此Q 2=f α[f β（P ）]表示点Q 2是过点P 2作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P ，恒有PQ 1=PQ 2，

∴点Q 1与Q 2重合于同一点

由此可得，四边形PP 1Q 1P 2为矩形，且∠P 1Q 1P 2是二面角α﹣l ﹣β的平面角

∵∠P 1Q 1P 2是直角，∴平面α与平面β垂直

故选A

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.【答案】5

5

【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.

【详解】直线2y x =与直线21y x =+之间的距离0155

41d -=

=+.故答案为：5

512.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.

【答案】4

【详解】解：因为若三点

(2,2),(,0),(0,4)(22)//(2,2)2(2)40

4

A B a C AB AC

a a a 共线则，λ⇒=⇔---⇔--=⇔=13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A

D MN -的体积为

__________.

【答案】1

【分析】由线面垂直，根据等体积法即可求解.

【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11D A

⊥平面11ABB A ,所以11D A ⊥平面1MNA ,111111111341212112222

A MN AB

B A A AN A B M BMN S S S S S =---=-创创创 ,

故111111111321332

A D MN D A MN A MN V V S A D --==

�创= ,故答案为：114.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.

【答案】)

2⎡⎣【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线l 与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临界直线分别为直线,PA PB ，求出对应的斜率可写出k 的取值范围.

【详解】如图所示，

由直线:0-+=l kx y k 得()1y k x =+直线l 过点()1,0P -，

由题意得圆:C ()()22122x y -+-=，圆心为()1,2

，半径为r =，

令0x =得1y =或3，所以圆C 与y 轴的交点为()()0,1,0,3D A ，

所以直线PA 的斜率为()

30301PA k -==--，当直线l

=，整理得2410k k -+=

，解得2k =±其中切线PB

的斜率为2PB k =若直线l 与圆C 在第一象限内的部分有公共点，则直线l

斜率的取值范围为23k ≤<.

故答案为：)

2⎡⎣.

15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.

【答案】5

5

【详解】点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P′C 的长度的最小值，当P′C ⊥DE 时，P′C 的长度最小，此时P′C 221+＝

55.16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；

③存在只经过一个整点的直线l ；

④存在只经过两个不同整点的直线l .

【答案】①③

【分析】举例可判断①②③，通过两个整数点1(x ，1)y 和2(x ，2)y 在直线上，可得12(x x -，12)y y -在直线上，进而可得更多的整数点在直线上，进而判断④错误

【详解】对于①，令13y x =+

，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，取2k =2b =，直线y kx b =+为22y x =-，经过整点(1,0)，故②错误；

对于③，比如直线方程为2y =

，直线经过整点()00，当x 取不为0的整数时，y 都是无理数，故该直线只经过整点()00，

，故③正确；对于④，设直线为y kx b =+，若此直线l 过不同的整点1(x ，1)y 和2(x ，2)y ，

把两点代入直线l 方程得：11y kx b =+，22y kx b =+，两式相减得：1212()y y k x x -=-，则12(x x -，12)y y -为整点且在直线y kx b =+上，依次可得直线l 经过无穷多个整点，故④错误．

∴正确的命题是①③．

故答案为：①③．

三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.

17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12

AF AB BC FE AD ====

.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；

（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.

【答案】（1）3π

；（2

）3

.【分析】（1）以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用直线BF 与

DE 的方向向量求异面直线BF 与DE 所成角即可.

（2）求出平面CDE 的一个法向量为u r ，平面ACD 的一个法向量为v ，利用公式cos ,||||

u v u v u v ⋅= 即可求出答案.【详解】因为FA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设1AB =，则1,2AF BC FE AD ====，

（1）所以()()()()1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,2,0B F E D ，所以(1,0,1),(0,1,1)BF DE =-=-

，所以1cos ,2BF DE BF DE BF DE

⋅===⋅ ，因为[],0,BF DE π∈ ，所以,3

BF DE π= ，所以异面直线BF 与DE 所成角为3π

.

（2）因为()()()1,1,0,0,1,1,0,2,0C E D ，所以()()1,0,1,0,1,1CE DE =-=- ，

设平面CDE 的一个法向量为(,,)u x y z = ，

则00u CE u DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩

，即00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z ==，所以(1,1,1)u = ，

取平面ACD 的一个法向量为()001v = ，

，设平面ACD 与平面CDE 夹角为θ，则

则cos cos ,

3||||u v u v u v θ⋅==== ，

所以平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值为3.

18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.

（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.

【答案】（1）340

x y ++=（2）2x =-或43140

x y -+=【分析】（1）联立方程组得到交点为()2,2-，再利用平行的直线系求解即可.

（2）首先得到圆心()1,1到直线l 的距离3d ==，再分类讨论结合圆的弦长求解即可.

【小问1详解】

342022202x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩

，即交点为()2,2-.设直线l 的方程为()301x y c c ++=≠-，把点()2,2-代入方程得4c =，

所以直线l 的方程为340x y ++=.

【小问2详解】

圆22:(1)(1)25C x y -+-=，圆心为()1,1，半径为5.

设圆心()1,1到直线l 的距离为d ，则3d ==.

若直线l 过点()2,2-且斜率不存在，则:2l x =-，到圆心()1,1的距离为3，满足条件；

若直线l 过点()2,2-且斜率存在，设():22l y k x -=+，即220kx y k -++=，

由题意3d ==，解得43

k =.所以()4:223

l y x -=+，即43140x y -+=.综上所述，直线l 的方程为2x =-或43140x y -+=.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD

为平行四边形，

120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上

.

条件①：2BC =；

条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .

从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：

（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；

（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为

55，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.

注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.

【答案】（1）AB PB ⊥，证明见解析

（2）22

或2（3

）⎡⎢⎣【分析】（1）选①由勾股定理证得BD CD ⊥，从而证得CD ⊥平面PBD ，进而由//AB CD 证得结果；选②由面面垂直的性质证得PB ⊥平面ABCD ，从而证得结果.

（2）建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式解得点M 的坐标，进而由两点间距离公式可得BM 的长.（3）由线面角公式得sin α是关于λ的分式型函数，进而用换元法求分式型函数的值域可得结果.

【小问1详解】

选①：AB PB ⊥.

证明：平行四边形ABCD 中，18012060BCD ∠=-= .

∵2,1BC DC AB ===，

∴BCD △

中，BD ==.

∴222BD CD BC +=，

∴BD CD ⊥.

又∵PD CD ⊥，PD BD D ⋂=，PD BD ⊂、平面PBD ，

∴CD ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，

∴CD PB ⊥.

又∵//AB CD ，

∴AB PB ⊥.

选②：AB PB ⊥.

证明：∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD .∴PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，

∴PB AB ⊥.

【小问2详解】

由（1）知：BA 、BD 、BP 两两垂直，

∴以B 为原点，以,,BA BD BP

的方向分别为x 轴，y 轴，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(

)()(

)()

()0,0,0,,0,0,2,1,,1,0,0B D P C A -，13,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

∴(

)

13,,,1,,,12222BD BN AN ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，

设平面BDN 的法向量为()111,,n x y z =

，

则111101022n BD n BN x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩

令12x =，则110,1y z ==.此时()2,0,1n =

.

∵M 在直线AN 上，∴设,MN a AN a =∈R ，∴33(,,),22

MN a a a a =-∈R ∴M 到平面BDN

的距离为5MN n d n ⋅=== ∴12

a =，

∴31,,442MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

或31,,442MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭

，

∴11,,442M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

或53,,442M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，∴22

BM =

或2.【小问3详解】

∵N 在棱PC 上，

∴设[],0,1PN PC λλ=∈ ，

∴()

,22BN BP PN λλ=+=-- ，设平面BDN 的法向量为()222,,m x y z =

，则22220(22)0

m BD m BN x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ ∴20y =，取()22,0,m λλ=-

，由于()

AC =- ，设直线AC 与平面BDN 所成角为α，则

sin cos ,AC m λα--== ∴()22

2

2216(1)16(1)sin 758475(1)211λλαλλλλ--=⨯=⨯-+-+-+，令[]11,0t λ=-∈-，当0=t 时，2sin 0α=；当[)1,0t ∈-时，222161161sin 121775(1)4t t t

α=⨯=⨯++++；

∵(]1

,1t

∞∈--，∴[)21144,t ∞⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭

，∴24sin 0,7α⎛

⎤∈ ⎥⎝⎦

.

∴sin 0,7α⎛∈ ⎝⎦综上，27sin 0,7α⎡∈⎢⎣⎦

20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为()2121,A B x x y y ρ=-+-.

（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；

（2）已知点(

)1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

【答案】（1）4；（2）321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

；

（3）存在，答案见解析.

【分析】（1）根据题中给定定义直接求解;

（2）根据定义列出式子，用不等式求解最值；

（3）根据定义分类讨论证明.

【小问1详解】

(),12034A B ρ=-+-=.

【小问2详解】

因为点B 为直线:20l x -+=上的动点，

故可设点B 的坐标为)2,B t -，

则32|32|3232(,)|3|||||||||||||2222A B t t t t t t t ρ⎛⎫=-+=-+≥-+≥--= ⎪ ⎪⎝⎭.

当且仅当2t =时等号成立，故(),A B ρ的最小值为2

，此时点B 坐标为321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

.【小问3详解】

注意到点()11,A x y 与点()22,B x y 不同，下面分三种情况讨论.若12x x =，则12y y ≠，由条件②得1122x x y y x x y y -+-=-+-，即12y y y y -=-，所以122

y y y +=.由条件①得11222121x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-.所以121212111222

x x y y y y y y -+-+-=-，所以10x x -=，所以1x x =.

因此，所求的点C 为121,2y y x +⎛

⎫ ⎪⎝⎭

.若12y y =，则12x x ≠，类似于A.，可得符合条件的点C 为121,2x x y +⎛⎫

⎪⎝⎭.当12x x ≠，且12y y ≠时，不妨设12x x <.

1122(,)(,)A C C B x x y y x x y y ρρ+=-+-+-+-1212x x x x y y y y

=-+-+-+-1212x x x x y y y y

≥-+-+-+-()

2121,x x y y A B ρ=-+-=当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时取等号，即当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时条件①成立.（i ）若12y y <，则由上面证明知，要使条件①成立，则有12x x x ≤≤且12y y y ≤≤.从而由条件②得()121212

x y x x y y +=

+++.因此所求点C 的集合为()()121212121,,.2M x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=+=+++≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且

（ii ）若12y y >，类似地由条件①可得12x x x ≤≤且21y y y ≤≤，从而由条件②得()121212

x y x x y y -=+--.因此所求点C 的集合为()()121212211,,.2N x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=-=+--≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且下载本文