数学试题卷（理工农医类）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .
如果事件A、B相互，那么P(A·B)－P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B.4 C. 5 D. 6
（2）命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
（4）若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A10 B.20 C.30 D.120
（5）在中，则BC =（ ）
A. B. C.2 D.
（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
（7）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
（8）设正数a,b满足则（ ）
A．0 B． C． D．1
（9）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
C
D
（10）如图，在四边形ABCD中， =0,则的值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
B
A
二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数的虚部为________.
（12）已知x,y满足，则函数z = x+3y的最大值是________.
（13）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_______.
（14）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则
__________.
（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答）
（16）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.
三、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本小题满分13分)设f (x) =
（1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角满足，求tan的值。
（18）(本小题满分13分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互。求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额的分别列与期望。
（19）(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。
（1）求异面直线DE与的距离；
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。
（20）(本小题满分13分)已知函数(x>0)在x = 1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明
为定值，并求此定值。
2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分．
（1）A （2）D （3）C （4）B （5）A （6）C
（7）B （8）B （9）D （10）C
二、填空题：每小题4分，满分24分．
（11） （12） （13）
（14） （15） （16）
三、解答题：满分76分．
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为；
最小正周期．
（Ⅱ）由得，故．
又由得，故，解得．
从而．
（18）（本小题13分）
解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，，
且，，．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ）的所有可能值为，，，．
，
，
，
．
综上知，的分布列为
解法一：由的分布列得
（元）．
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
同理得，．
综上有（元）．
19．（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
（Ⅱ）如答（19）图1，过作，垂足为，连接，因，，故面．
由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．
在直角中，，
又因，
故，所以．
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．
设，则，
又设，则，
从而，即．
又，所以是异面直线与的公垂线．
下面求点的坐标．
设，则．
因四棱锥的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解得，即．
从而，，．
接下来再求点的坐标．
由，有，即 （1）
又由得． （2）
联立（1），（2），解得，，即，得．
故．
（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，垂足为，连接，
设，则，因为，故
……………………………………
因且得，即
……………………………………②
联立②解得，，即．
则，．
．
又，故，因此为所求二面角的平面角．又，从而，故，为直角三角形，所以．
（20）（本小题13分）
解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得
．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
（21）（本小题12分）
（）解由，解得或，由假设，因此，
又由，
得，
即或，因，故不成立，舍去．
因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．
（）证法一：由可解得；
从而．
因此．
令，则．
因，故．
特别地，从而．
即．
证法二：同证法一求得及，
由二项式定理知，当时，不等式成立．
由此不等式有
．
证法三：同证法一求得及．
令，．
因．
因此．
从而
．
证法四：同证法一求得及．
下面用数学归纳法证明：．
当时，，，
因此，结论成立．
假设结论当时成立，即．
则当时，
因．故．
从而．这就是说，当时结论也成立．
综上对任何成立．
（22）（本小题12分）
解：（I）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知
，
因此，．
故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，
假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有
．
解得．
因此
，
而
，
故为定值．下载本文
