3.3 受弯构件正截面承载能力计算的基本原则
3.3.1 基本假定
1．平均应变的平截面假定
国内外大量试验证明：对于钢筋混凝土受弯构件，从开始加荷到破坏的各个阶段，截面的平均应变都能较好的符合平截面假定。对于混凝土受压区来说，在各级荷载作用下直到破坏，基本上是符合平截面假定的。而对受拉区，在裂缝产生后，裂缝截面处钢筋和混凝土之间发生了相对位移。开裂前原为同一个平面，而开裂后部分混凝土受拉截面已劈裂为二。显然，这种现象是不符合材料力学中所讲的平截面假定的。但是，若测量应变的标距较长（跨过几条裂缝），则其平均应变，大体上仍符合平截面假定。
做出这一假定，可以为钢筋混凝土受弯构件正截面承载能力的计算提供变形协调的几何关系，从而加强计算方法的逻辑性和条理性，还可减少经验系数数量，同时，使公式的物理意义更明确。
当然，这一假定，有一定的近似性，但由此引起的误差并不大，完全能够符合工程计算的要求。
2．不考虑混凝土的抗拉强度
由上一节，我们已经知道，承载能力的计算是以第三阶段末作为设计依据。此时，受拉区的混凝土已经开裂。在裂缝截面处，受拉区混凝土已大部分退出工作。但在中和轴附近，仍有一小部分混凝土承担着拉应力。由于其拉应力较小，且内力偶臂也不大。因此，在计算中忽略不计。这样，可使我们的计算更加简单。
3．应力—应变的物理关系：
（1）混凝土的应力应变关系：
假设混凝土的应力~应变曲线由一条曲线及一条水平线组成，如图3-11所示。曲线顶点对应于横坐标上e0=0.002处。也就是上一节中所讲的峰值应变。我国《公路桥规》混凝土极限压应变取eu=0.003。通常所选曲线为二次抛物线：
0≤ε≤ε0 ： （3-1）
ε0<ε≤εu： （3-2）
这里的e0为对应e0时的应力。
（2）钢筋的应力应变关系：
采用理想的弹塑性应力—应变曲线，对有明显流幅的钢筋，如图3-12所示。ey相应于钢筋刚进入屈服时的应变。
当 0≤e≤ey时 σg=εgEg （3-3）
即应力应变呈正比。
当εg>εy时 σg=σy （3-4）
即钢筋应力维持屈服强度不变。
3.2.2 受压区混凝土等效矩形应力图形：
受压区混凝土压应力的分布为曲线分布，由于其分布复杂，不便直接在工程中应用，因而在实际计算中常用等效矩形来代替。等效原则为：等效前后混凝土压应力的合力大小及作用点位置均不变。
图3-13为等效矩形应力图。设等效前混凝土受压区高度为，则距中和轴为y处混凝土的纤维压应变，最大宽度为σ0，等效后受压区高度为 。宽度为γσ0。
按照前述的基本假定，等效前的应力图为一条直线和一条抛物线组成。通过对等效前的应力图形进行积分，即可得到等效前混凝土应力的合力及合力的作用点位置。即公式（3-5）及（3-6）。等效后的应力图形为矩形，可以直接从图中求出。即公式（3-7）及（3-8）。
等效前，合力
由 ， 。积分后得：
（3-5）
等效前，合力C的作用点至受压区边缘距离
积分后；得 （3-6）
等效后： （3-7）
= = （3-8）
由式（3-5）等于式（3-7），式（3-6）等于式（3-8）即可得到公式（3-9）及（3-10）。即
（3-9）
（3-10） 当e0及eu确定后，代入式（3-9）及式（3-10）即可得到等效后矩形压应力的分布图形。我国《公路桥规》规定，钢筋混凝土受弯构件设计时，混凝土受压区等效矩形应力图的应力值。为混凝土轴心抗压设计强度。
对于受压区等效矩形应力图换算高度系数β，根据国内外试验资料分析，并考虑受压区实际高度与混凝土标号间的关系，在常用混凝土标号下，β大致在0.75～0.9之间。混凝土标号越低，其值越大。《公路桥规》对钢筋混凝土结构取β=0.9。
3.3.3 混凝土受压区的界限高度系数ξjg
为了使计算时概念更加清晰，先引入混凝土受压区高度系数ξ的概念。我们把受压区的高度x与梁截面有效高度h0的比值称为受压区高度系数。用ξ表示。即ξ=x/h0。那么，什么是受压区界限高度系数呢？由前可知，当梁的受拉区钢筋达到屈服强度时（应变达屈服应变εy）,而受压区混凝土边缘纤维的压应变也恰好等于混凝土受弯时的极限压应变,此时，梁的破坏为“界限破坏”。相应于界限破坏时，所对应的受压区高度xb与梁截面有效高度h0的比值称为受压区界限高度系数。用ξjg表示。
按平截面假定，则可绘出如图3-14所示的直线AB，该直线即为界限破坏的应变分布线。
设界限破坏时，，由图3-14则有 （3-11）
此时，矩形应力分布图形的折算应力所对应的高度 则
钢筋屈服应变
代入上式，则有
即：
令 ，则ξjg称为混凝土受压区高度界限系数。
则 （3-12）
据此，《公路桥规》根据不同的钢筋强度和弹性模量，并近似取整，得到不同种类钢筋的界限高度系数ξjg值（表3-1）
混凝土受压区界限高度系数 表3-1
| 钢筋种类 | I级钢筋 | 5号钢筋 | Ⅱ Ⅲ级钢筋 |
| ξjg | 0.65 | 0.60 | 0.55 |
当（受压区高度）x＞（大于）（受压区界限高度）xb时，即x＞ξjgh0，则（钢筋的应变）εg＜（小于）（钢筋的屈服应变）εy（图3-14中AC线），说明破坏时，受拉钢筋尚未达到屈服，为超筋梁。
| 可见，混凝土受压区界限高度系数是区分适筋梁与超筋梁的一个界限高度系数。 | |||
| 3.3.4 最小配筋率μmin 最小配筋率是少筋梁与适筋梁的界限。当截面的配筋率小于最小配筋率时，钢筋混凝土结构受力性能就转化为素混凝土结构。因此，最小配筋率确定原则为：钢筋混凝土梁破坏时所能承受的弯矩Mu，等于同材料同截面素混凝土梁正截面开裂弯矩的标准值。 同时，考虑到以往的设计经验及温度变化、混凝土收缩应力的影响，《公路桥规》规定的最小配筋率值如表3-2。必须注意对温度、收缩效应比较敏感的结构构件宜采用比表中所列μmin为大的数值，以免一旦开裂，裂缝开展过宽。 纵向受拉钢筋最小配筋率（%） 表3-2 钢筋种类 | 混凝土标号（MPa） | ||
| 20及以下 | 25～40 | 50～60 | |
| I级钢筋 | 0.15 | 0.2 | 0.25 |
| Ⅱ、Ⅲ级钢筋及5号钢筋 | 0.10 | 0.15 | 0.20 |
| 注：受压区有翼缘的T形截面构件，表中配筋率系指钢筋截面面积与构件腹板宽乘以有效高度的截面面积之比。 |
| 3.4 单筋矩形截面受弯构件 3.4.1 基本公式及适用条件 1．基本公式 根据受弯构件正截面承载能力计算的基本原则，并考虑材料的安全系数，可以做出单筋矩形截面受弯构件承载能力计算简图（图3-15）。 由图3-15可以写出单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算的基本公式。 由截面上水平方向内力之和为零，即 ，同时取 ，得到 （3-13） 由截面上对受拉钢筋合力T作用点的力矩之和等于零，可得 （3-14） 对压区混凝土合力C作用点取力矩，可得 （3-15） 式中： Mj——考虑了荷载安全系数后计算截面上的荷载效应（计算弯矩）； Mu——受弯构件计算截面的承载能力（抗力）； |
| Ra——混凝土轴心抗压设计强度； Rg——钢筋抗拉设计强度； x——按等效矩形应力图的计算受压区高度； b——截面宽度； h0——截面有效高度；h0＝h－a（a为钢筋截面中心至截面受拉边缘距离） γc，γS——分别为混凝土和钢筋的材料安全系数。 由式（3-13）可以得到计算受压区高度x为： （3-16） 则受压区高度系数ξ为： （3-17） 当ξ＝ξig时，可得到适筋梁的最大配筋率μmax为
|
| 2．适用条件 （1）为防止出现超筋梁情况，计算受压区高度x应满足 （3-18） 或 （3-19） （2）为防止出现少筋梁的情况，计算的配筋率μ应满足 （3-20） 其中μmin可由表3-2中查得。 3.4.2 计算方法 1．计算用表： 按式（3-13）～（3-15）计算时，一般需解二次联立方程。为便于实用，制成计算用表。 将式（3-14）和式（3-15）中的x用ξh0代替，则 （3-14）为： |
| （3-15）为： 设 （3-21） （3-22） 则可得 （3-23） （3-24） 由于A0和γ0仅与受压区相对高度x有关，可由式（3-21）和式（3-22）编制出对应于ξ值的A0和γ0的表格。应用时，可直接查书中的附表1-5。 ξ和γ0也可直接由下列公式计算 （3-25） （3-26 |
| 2．截面设计 钢筋混凝土受弯构件的正截面计算，一般仅需对构件的控制截面进行。所谓控制截面，在等截面构件中是指计算弯矩（荷载效应）最大的截面；在变截面构件中则是指截面尺寸相对较小，而计算弯矩相对较大的截面。 截面设计是指根据截面上的弯矩，选定材料、确定截面尺寸和配筋的计算。 截面设计方法及计算步骤如下： 已知：计算弯矩Mj，混凝土和钢筋材料级别，截面尺寸b及h。 求：钢筋截面面积Ag。 （1）假设钢筋截面积的重心至截面受拉边缘距离为a。对于绑扎钢筋骨架的梁，可设a≈40mm（布置一层钢筋时）或65mm（布置两层钢筋时）。对于板，一般可根据板厚假设a为25mm或35mm。这样可得到有效高度h0。 （2）由式（3-14）解一元二次方程求得受压区高度x，并满足x≤ξigh0。 （3）由式（3-13）可直接求得所需的钢筋面积。 （4）选择钢筋直径并进行截面布置后，得到实际配筋面积Ag、a及h0。计算配筋率μ≥μmin。 |
（3-27）
查附表1-5中相应的ξ及γ0，再由下列公式之一计算Ag，即
（3-28）
（3-29） 3．截面复核
截面复核是指已知截面尺寸、材料和钢筋在截面上的位置，要求计算截面的承载能力Mu或复核控制截面承受某个计算弯矩Mj是否安全。
截面复核方法及计算步骤如下：
已知：截面尺寸b、h，混凝土和钢筋材料级别，钢筋面积Ag。
求：截面承载能力Mu。
（1）计算配筋率μ，且应满足μ≥μmin。
（2）由式（3-13）计算受压高度x。
（3）若x＞ξigh0，则为超筋截面，其承载能力为
（3-30）
（4）当x ≤ξigh0时，由式（3-14）或式（3-15）可计算到Mu。
若求得的Mu＜Mj时，说明不安全。可采取提高混凝土级别、修改截面尺寸，或改为双筋截面等措施，提高承载能力。
在实际工程中，进行截面设计时，截面尺寸b及h常常是未知的，此时，需要根据工程经验或构造规定等来假设。一般可根据计算跨度及荷载大小来选择，对于矩形梁一般可取，宽度取，板厚，b取1m。根据所选断面，算出Ag。若μ＝0.006～0.015（矩形梁）或μ＝0.003～0.016（板），说明所选截面基本合理，否则可重新设b或h。
由上述计算过程，大家可以看到，无论是设计题，还是复核题，当采用基本公式进行计算时，关键在于求受压区高度x。只要大家记住并理解了计算简图，利用平衡条件，可以非常方便列出基本公式。根据题目所给的已知条件，看哪个公式能解出x就用哪个公式解。得到x后，带到另一基本公式中，即可得到所求的值。注意，求出的x应满足x≤ξjgh0。若所求值为钢筋面积Ag，须验算最小配筋率；若所求值为承载力Mu,应保证最大取ξjgh0。同时，应注意公式（3-13）中，由于所取材料的安全系数γs=γc=1.25，所以该式中没有γs及γc，而式（3-14）或（3-15）中，一定不要丢掉γc或γs项。下载本文
