2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：
球的体积公式：.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.
1．已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ ．
2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ．
3．设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为 ▲ ．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．
6．已知向量，，若，则的值为 ▲ ．
7．不等式的解集为 ▲ ．
8．已知，，则的值为 ▲ ．
9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有
圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．
11．数列满足，且（），则数列的前10项和为 ▲ ．
12．平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ▲ ．
13．已知函数，，则方程实根的个数为 ▲ ．
14．设向量，则的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在中，已知
(1)求BC的长；
(2)求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，
求证：(1)DE//平面；
(2)．
17．（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0) 的离心率e＝，右焦点F到左准线l的距离为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
19．（本小题满分16分）
已知函数；
(1)试讨论的单调性；
(2)若（实数是与无关常数），当函数有三个不同零点时，的取值范围恰好是（求的值．
20．（本小题满分16分）
设是各项为正数且公差为d的等差数列．
(1)证明：依次成等比数列；
(2)是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
(3)是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由．
附加题
21.（选择题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D．
求证： ．
B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值．
C、[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.
D、[选修4-5：不等式选讲]
解不等式．
22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,．
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．
23.已知集合，设，令表示集合所含元素个数.
(1)写出的值；
(2)当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．下载本文
