本科生毕业论文（设计）册

学院  数学与信息科学学院    

专业   数学与应用数学                     

班级   07级C班            

学生      常会敏            

指导教师      刘稳          

河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书

论文（设计）题目：          分块矩阵的应用                 

学    院：    数学与信息科学学院           专业： 数学与应用数学学             

班级：       07级C班         

学生姓名：  常会敏          学号： 2007010656         指导教师：      刘稳      

职称：          

1、论文（设计）研究目标及主要任务

分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。

2、论文（设计）的主要内容

1分块矩阵证明有关矩阵的秩

2求解矩阵方程

3求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似

3、论文（设计）的基础条件及研究路线

在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。

4、主要参考文献

[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.

[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.

[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.

[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.

[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：民族大学出版社，2002：1.

[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.

[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程[J].数学通报，1993：16～25.

[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.

5、计划进度

教研室主任：                     2010 年    11 月      日

河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书

  数学与信息科学学院 学院  数学与应用数学      专业    2011     届

学生

矩阵理论是经典数学的基础，在历史上至少可追述到Sylvester与Cayley作为实用性最强的数学分支之一，矩阵论是处理大量有限维线性空间形式与数学关系的强有力的工具，近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析等都可以在矩阵论中找到它们的根源。分块矩阵作为矩阵理论的一种灵活性应用，其重要性可见一般。

基于矩阵理论如此广泛的应用，人们很早便开始研究总结矩阵理论的应用，后来人们发现有时候将矩阵适当分块，然后把分块后的小矩阵当作数一样来处理会对解决问题带来很大帮助，人们称之为矩阵的分块。分块矩阵应用起来需要很大的技巧，人们便开始进一步探讨分块矩阵在研究哪些问题时能够得到更好的应用，到目前为止研究分块矩阵的应用的书籍及文献已多的不胜枚举，如《高等代数》中将矩阵的分块及应用作为专门的一节来讲，其中便涉及到了分块矩阵的运算及初等变换，使得我们可以将分块后的矩阵仍当作矩阵一样来处理，还有些文献中总结归纳了分块矩阵在求矩阵的行列式、求矩阵的逆、证明有关秩的不等式等方面的应用，然而我们知道分块矩阵具有灵活性，其应用又具有广泛性，因此要想将分块矩阵的应用用穷举法全部罗列出来几乎是不可能做到也是不可行的，故本文作者想要进一步归纳总结分块矩阵在某几方面的应用是可行的且有必要的。

在整理和查找有关分块矩阵方面的文献时，看到了一篇有关求解矩阵方程的文献，其方法便用到了分块矩阵的思想，这是求解线性方程组的一大推广，我们在解线性方程组时用到了矩阵这一工具，自然地，我们可推广到求解矩阵方程时应该会用到分块矩阵这一思想方法。故可将此理论加以完善并结合实际例子，从而完整地整理总结出分块矩阵的这一应用。

既然分块矩阵理论的应用如此广泛，因而即使矩阵理论的研究已相当成熟，我们仍有必要深入体会分块矩阵的应用技巧，归纳总结分块矩阵在不同类型题目当中发挥出的巨大应用。我们知道矩阵的对角化问题一直是线性空间理论研究的重点之一，而根据矩阵的最小多项式的形式我们可以判断出矩阵能否对角化，因而运用适当方法求出一个矩阵的最小多项式具有重要意义。对于一个给定的矩阵，一般我们求其特征多项式，利用最小多项式是特征多项式的因式这一理论，进一步判断求出其最小多项式。然而对于具有特殊形式的矩阵，或许我们可以利用技巧简化计算过程，更快地求出最终结果。结合参考文献，作者发现对于准对角矩阵我们可以利用分块矩阵的理论，将其划成若干小矩阵，分别求出每个小矩阵的最小多项式即可。进一步可利用此结论判断两矩阵是否相似。

不仅如此，矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域都有广泛的应用，凡是用到矩阵理论的领域，分块矩阵的思想便可得以灵活运用，从而使实际问题变得容易解决。

关于矩阵多项式的进一步的结论

1、简介

关于矩阵多项式的理论以及它在机械制造学连续统方面的应用我们在之前已经讨论过，此次研究的主要目的是在原来理论的基础上进一步拓展，以化简此理论并得到更深刻的结论。我们已经证明过如下结论：

定理1：由阶矩阵形成的矩阵多项式可表示为阶数更低或阶数相等的矩阵多项式在：

（ⅰ）每个矩阵的积是单位矩阵或是形式为因子的表达式且最多有两个因子.

（ⅱ）在一个矩阵乘积中不可能有两个相同的因子.

（ⅲ）每个矩阵乘积的阶数小于或等于矩阵多项式的阶数.

(ⅳ)包含两个因子的矩阵乘积连续地包含它们.

（ⅴ）包含因子和的矩阵乘积不可能再有因子或，除非它们有形式为的因子.

（ⅵ）在任何包含因子和的矩阵乘积里要先于出现.

关于这篇文章里出现的定义，我们之前已经定义过。

满足定理1条件的矩阵乘积的集合对于已被列举过，且我们可定义一个阶矩阵的乘积；这样看来，所有的结果都可以通过基于哈密顿—凯莱定理的代数运算得到。在此皮亚诺定理被引入以进一步阶对称矩阵的基的个数，以及阶对称矩阵所形成的闭式的必要条件的个数，这些都将被讨论。

2、关于阶矩阵多项式的一些结论.

在这部分一些结论和在[2],[3]中的一些证明都将被合理的总结，记号将被引入定义任意一个由矩阵所形成的阶数低于或等于的矩阵多项式。若是一个矩阵多项式，则等式被理解为可被表示为由矩阵形成的阶数小于或等于的矩阵多项式，显然.在此记法下，一些[2],[3]中得到的结论可被叙述如下，令是矩阵之积（均不等于单位矩阵），相对于阶矩阵总得阶数分别为，则…………（2.1）

……………(2.2)

……………………(2.3)

……………………(2.4)

……………………(2.5)

在接下来的章节中，我们将证明矩阵乘积的形式为

（ⅰ），，；………………(2.6)

（ⅱ）, , , ,;……(2.7)

（ⅲ）...................................(2.8)

在矩阵中可被表示为阶数为5或者更小的矩阵多项式。

3、矩阵乘积，， 

在（2.1）式中，我们把用替换，仍应用此关系式相乘我们便可得到左边出现，即……(3.1)

现在由关系式（2.4），在等式的右边分别乘上合适的因子，我们得到积，，均表示为由组成的阶数等于5或更低的矩阵多项式的形式，应用此结论到（3.1），我们得到

………………(3.2)

在某种程度上用相似的办法，在式(2.1)中，用分别代替，用此关系式相乘，等式右边我们得到，并用关系式（2.4），我们发现

………………(3.3)

接下来，在式（2.1）中,用分别代替，得到

………(3.4)

应用关系式（2.4），等式右乘合适的因子，我们得到乘积，，， 

均表示为由组成的阶数等于5或更低的矩阵多项式的形式，应用此结论到（3.4），我们得到

关系式……(3.5)

用类似的办法，用分别代替可以证明出……(3.6)

从（3.3），（3.6）和式（3.6）中交换和的位置，有

…………(3.7)

因此从（3.2）中，将等式中和的位置互换，根据式（3.7），我们得到

……………………………(3.8)

类似地，可以证明……(3.9)

接下来，在（2.5）中，将分别替换，则

进一步拓展，应用等式（关系式（2.5）），并且，则这个最后等式变为

…(3.10)

现在在式（3.10）中，将用替换，再将得到的式子两边同时与（3.10）相加得到

…………(3.11)

由（2.2）和（2.4）得到的等式，再结合（3.8）得到

………(3.12)

和……(3.13)

将(3.12)和(3.13)插入式（3.11）关系式……（3.14）便可得到，因此从（3.6）和（3.14）中可得到……(3.15),然而从（3.2）和（3.8）中有

……(3.16),因此得到……（3.17）

从（3.17），（3.5），（3.6），和应用矩阵得到的一些关系式中，很明显得到

，，……(3.18)

最后我们有：结论1.每个形式为，，的矩阵乘积都可表示为总共阶数为5的由矩阵构成的矩阵多项式。

原文如下：

Further Results in the Theory of Matrix Polynomials

A．J．M．SPENCER & R.S.RIVLIN

1.introduction

The theory of matrix polynomials and its application to the mechanics of isotropic continua has been discussed in earlier papers[1],[2],[3],[4].The purpose of this paper is to give some further results which extend and in some respects simplify the theory which was put forward in [3]and[4].

The following theorem was proven in[3]:

Theorem 1.Any matrix polynomialin matrices can be expressed as a matrix polynomial of lower or equal extension and total degree，in which

（ⅰ）each matrix product is either the unit matrixor is formed from some or all of the factors and at most two of the factors；

（ⅱ）no two factors in a single matrix product are the same；

（ⅲ）each matrix product is of lower or equal partial degree in each of the matrices

than the matrix polynomial；

   （ⅳ）matrix products containing two of the factors contain them consecutively；

（ⅴ）no matrix product containing both of the factors  and  contains either of the factors  or，unless it has the form；

（ⅵ）precedes  in any matrix product containing both and  as factors.

For definition of the terms employed above and elsewhere in this paper，reference is made to[2]and[3].

The sets of matrix products which satisfy the conditions of theorem 1 were enumerated in[3]for the cases and 5.Also in[3],a finite integrity basis for  symmetric  matrices，and also the number of necessary terms in the closed expression for a symmetric isotropic matrix polynomial in  symmetric  matrices，and the terms of this expression were enumerated.

2. Some results concerning matrix polynomials in  matrices

In this section some results ，proofs of which were given in [2] and [3]，will be summarized for convenient reference .The notation  will be introduced to denote an arbitrary matrix polynomial of total degree less than or equal to in the matrices.If  is a matrix polynomial in these matrices ，the statement  is understood to mean“can be expressed as a matrix polynomial of total degree less than or equal to  in the matrices”.Clearly.

A similar notation was introduced by ADKINS [5].

 In this notation，certain of the results given in [2] and [3] may be stated as follows. Let andbe matrix products（not equal to the unit matrix）of total degreeand  respectively in the  matrices.Then 

…………（2.1）

……………(2.2)

……………………(2.3)

……………………(2.4)

……………………(2.5)

In§§3,4 and 5，we apply these formulas to show that matrix products of the forms

（ⅰ），，；………………(2.6)

（ⅱ）, , , ,;……(2.7)

（ⅲ）...................................(2.8)

may be expressed as matrix polynomials of degree five or less in the matrices.

3.Matrix products，， 

In （2.1），we replaceand by  respectively and multiply the relation so obtained on the left by.This gives

……(3.1)

Now，by relations of the type（2.4），multiplied on the right by appropriate factors where necessary，each of the products， and  can be expressed as a matrix polynomial of degree five or less in the matrices and.Inserting these results into（3.1），it follows that………………(3.2)

In a somewhat similar manner，replacingand in（2.1）by，  and，respectively，multiplying the relation so obtained on the right by，and using relations of the type （2.4）where possible，it is found that

………………(3.3)

Next，in（2.1），replace  by， by，and  by，obtaining

………(3.4)

by relations of the type（2.4），multiplied on the left or right by appropriate factors where necessary，each of the matrix products，， and  can be expressed as a matrix polynomial of degree five or less in the matrices and.Inserting these results in (3.4) gives the relation……(3.5)

In a similar way，replacingand in（2.1）by，  and  respectively，it may be shown that……(3.6)

From（3.3），（3.6），and the relation obtained from（3.6）by interchanging  and 

…………(3.7)

Hence，from（3.2），the relation obtained from（3.2）by interchanging  and，and（3.7），we obtain  ……………………………(3.8)

Similarly，it may be shown that……(3.9)

Next，in（2.5），replaceand by and  respectively .Then 

.

Expanding，and using the relations（of type（2.5）），and，this last relation becomes 

…(3.10)

Now，replace  in (3.10) by，and add the relation so obtained to（3.10）.This gives

…………(3.11)

By relations readily derived from（2.2）and（2.4），and by（3.8）

………(3.12)

and  ……(3.13)

Inserting（3.12）and（3.13）in（3.11），the relation……（3.14）is obtained .Hence，from（3.6）and（3.14）……(3.15)

However，from（3.2）and（3.8）……(3.16) and it therefore follows that……（3.17）

From（3.17），（3.5），（3.6）and relations obtained from these by permuting the matrices，it is readily shown that 

，，……(3.18)

We thus have

本科生毕业论文设计

题目          分块矩阵的应用        

作者姓名     常会敏          

指导教师     刘稳            

所在学院   数学与信息科学学院

专业（系）  数学与应用数学   

班级（届）  2011届           

完成日期   2011  年 5  月    日

目录

中文摘要、关键词…………………………………………（1）

1、分块矩阵的定义及运算法则……………………… （1）

1.1定义矩阵的分块………………………………………（1）

1.2分块矩阵的运算法则…………………………………（1）

2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩……………………（4）

2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理………………………（4）

2.2证明有关矩阵秩的等式………………………………（5）

2.3证明Sylvester不等式………………………………（6）

2.4证明Sylvester公式…………………………………（7）

3、利用分块矩阵求解矩阵方程…………………………（8）

3.1解矩阵方程的原理 ………………………（8）

3.2求解矩阵方程 ………………………………………（9）

4、分块矩阵在其它方面的应用 ………………………（10）

4.1求矩阵的最小多项式………………………………（10）

4.2判断两矩阵是否相似………………………………（12）

5、总结 …………………………………………………（13）

参考文献…………………………………………………（13）

英文摘要、关键词…………………………………………（14）

分块矩阵的应用

数学与信息科学学院  数学与应用数学专业

指导教师  刘稳

作者  常会敏

中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。常常在分块之后，矩阵间的相互关系会看的更清楚。像矩阵一样，分块矩阵具有广泛的应用。本文就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面的应用做一初步分析，每一部分均有充分的理论知识配以经典例子，充分展示了分块矩阵在处理相关问题上的可行性和简洁行。

关键词：分块矩阵，矩阵的秩，矩阵方程，最小多项式，矩阵相似

1 分块矩阵的定义及运算法则

1.1 定义矩阵的分块：矩阵的分块是我们在处理级数较高的矩阵时常用的方法。有时候我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如同矩阵是由数组成的一样。特别在运算中把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。

矩阵分块的好处是：使得矩阵的结构变得更明显清楚，而且使得矩阵的运算可以通过它们的分块矩阵的形式来进行，从而可以使有关矩阵的理论问题和实际问题变得较容易解决。

1.2 分块矩阵的运算法则

分块矩阵的运算与矩阵类似，即有加法、数量乘法和分块矩阵乘法，不同的是，一般矩阵的元素是数量，而分块矩阵的元素可以是矩阵，也可以是数量。在分块时应注意，适当分块后应使得该矩阵可以进行相关运算。下面我们看下不同的运算法则所对应的矩阵分块有何要求。

1.2.1 加法和数量乘法

   从矩阵的加法和数量乘法的定义可以看出，两个具有相同分法的s×n矩阵才能相加，只要把对应的子矩阵相加即可；数乘一个分块矩阵，即用该数去乘每一个子矩阵，如：

则，其中（=1,2,3,4） 是具有相同行列的矩阵。

1.2.2 分块矩阵乘法

由矩阵乘法的定义容易想到分块矩阵相乘需要满足下述两个条件：

⑴ 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；

⑵ 左矩阵的每个列组所含列数等于右矩阵的相应组所含行数。

满足上述两个条件的分块矩阵相乘时按照矩阵乘法法则进行即可。

即设A=,B=,则

A=，B=

AB=

即A、B写成分块矩阵相乘时，按照上述法则进行，这与普通矩阵的乘法法则类似。但应注意，子矩阵间的乘法应当是左矩阵的子矩阵在左边，右矩阵的子矩阵在右边，而不能交换次序。

1.2.3 初等行（列）变换

   类似于矩阵的初等行（列）变换，分块矩阵也可进行初等行（列）变换：

（1）把一个分块行的做倍（是矩阵）加到另一个块行上，如

————→

（2）互换两行的位置，如

————→

 （3）用一个可逆矩阵左乘某一行（为的是可以把所得到得分块矩阵变回到原来的分块矩阵）。

类似的有分块矩阵的初等列变换，在此不再赘述。

我们知道矩阵的初等变换均可通过矩阵的乘法实现。类似地，分块矩阵的初等行（列）变换能通过分块矩阵的乘法来实现,如变换（1）可通过如下等式实现：

  = 

与矩阵一样，分块初等矩阵是可逆矩阵，不改变矩阵的秩。

有了分块矩阵的定义和上述运算法则，我们便可以利用分块矩阵来解决相关的问题，下面我们着重介绍分块矩阵在本文就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面的应用。                                                                                                                              

2 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩

代数中有关矩阵的秩的证明一直是一大难点，而恰当地利用分块矩阵，将矩阵根据不同的问题进行分块，可使问题变得柳暗花明，容易解决。

2.1 证明关于矩阵乘积的秩的定理

定理：设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是

        秩（）≤min[秩（），秩（）]，

即乘积的秩不超过各因子的秩。

证明该定理的方法很多，下面用分块矩阵的方法证明该定理，将会变得简单明了，从而体会分块矩阵的优势。

实际上，令，其中，,…表示的行向量，这就是的一种分块，于是有=

从这个式子很容易看出的行向量是的行向量的线性组合，因而有 秩（）≤秩（）；类似地，令，这就是的一种分块，其中表示的列向量，于是有

从这个式子很容易看出的列向量是的列向量的线性组合，因而有秩（）≤秩（）。

综上，秩（）≤min[秩（），秩（）]，

证毕

2.2 证明有关矩阵秩的等式

设是实矩阵，求证：

秩（）-秩（）=.

上述等式看似复杂，但若巧妙构造分块矩阵即可迎刃而解，下面利用分块矩阵给出该等式的证明

构造分块矩阵，则有

=，而可逆矩阵不改变矩阵的秩，因而

秩（）+ =秩（）  另外

=，故有

秩（）+ =秩（）

即    秩（）+=秩（）+，所以

秩（）-秩（）=.

证毕

2.3 证明Sylvester不等式

例：设、分别是，矩阵，则

秩()≥秩（）＋秩（）－ 

Sylvester不等式是关于矩阵秩的一个重要不等式。其证明方法也不唯一，而利用构造分块矩阵的方法来证明该不等式是最简单的方法之一，且思路会变得清晰明了，下面我们给出证明

证明：构造分块矩阵，先证明秩（）＝＋秩（）

为此，先证明一般等式   秩

对矩阵的前行作初等行变换，化成：

…………………………①

其中是阶梯形矩阵，且r行都是非零行，r=秩（）。再对阵①的后几行作初等行变换，化成       …………………………②

其中是阶梯形矩阵，且行都是非零行， =秩（），最后对②作一系列两行互换，化成

           …………………………③

矩阵③是阶梯形矩阵，有（）个非零行，因此

秩= = 秩（）+秩（）

故 秩（）＝＋秩（）

下面将作初等行（列）变换：

=

根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，且

+秩（）=秩=秩≥秩（）+秩（）

所以  秩()≥秩（）＋秩（）－ 

证毕.

2.4 证明Sylvester公式

例：设是矩阵，是矩阵，证明：的特征多项式与的特征多项式有如下关系式          

=

在学习特征值、特征向量时我们会经常讨论矩阵与之间的关系，通过该等式我们知道与具有相同的特征多项式，从而我们会得到许多相关的性质，下面我们给出利用分块矩阵的证明，从而再次体会分块矩阵所起的巧妙作用。

证明：要证明上式即证  

设0，构造分块矩阵.

一方面， = ①

另一方面，  = ②

将①②两式两边同时取行列式可得

，

即  =，因而有   

证毕

3 利用分块矩阵求解矩阵方程

《高等代数》中只讨论了关于一般线性方程组有解的条件及解的结构，作为线性方程组的推广，我们自然要考虑矩阵方程有解的条件及其结构，其中，为数域上两个已知矩阵，为所求

而分块矩阵在解决此问题上起到了重要作用。我们首先给出该矩阵方程解的存在性及解的求法，参考文献[7]，我们有如下结论

3.1 解矩阵方程的原理

将分块矩阵（）作初等行变换化为如下形式

（）

其中M是A的简化阶梯形矩阵。

在此说明，所谓简化阶梯形矩阵是指：阶梯形矩阵还满足如下条件

（1）各非零行的首非零元（主元）均为1；

（2）各非零行的首非零元（主元）所有列的其它元全为零。

则方程有解的充要条件是矩阵为零矩阵，有解时有两种情形：

（1）若，则方程有唯一解；

（2）若，则方程有无穷多解。

当方程有无穷多解时，我们考虑方程解的结构：

令，，我们知道是（=1,2……s）的一个解，从中可以写出每个线性方程组的一般解公式，从而可以写出，于是就可以写出矩阵方程的解。

下面给出具体的实例，看如何利用分块矩阵求解矩阵方程。

3.2 求解矩阵方程

1、例：解矩阵方程

解：

这里=0，由矩阵方程解的存在性定理可知方程有解，且的秩=2<3，故方程有无穷多解。

于是，的一般解分别为，

故方程的通解为   ， 其中是中任意数。

2、例：求解矩阵方程

解：（，）=

可知方程有解，且秩（，）=2<3，所以方程有无穷多解。

于是，，的一般解分别为

所以原方程的通解为

其中，是中任意数。

4 分块矩阵在其它方面的应用

以下我们总结了分块矩阵在求矩阵的最小多项式，判断矩阵是否相似方面的应用。我们知道，利用矩阵的最小多项式可以判断矩阵是否可对角化，我们有如下结论：

数域上阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是：的最小多项式是上互素的一次因式的乘积

可知最小多项式在代数领域占有重要地位，而分块矩阵在求某些特殊形式的矩阵的最小多项式中起到了简化计算的作用。

与最小多项式密切相关的是矩阵的相似问题，我们知道同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，因此矩阵的相似问题在向量空间中具有重要应用。《高等代数》中提到：相似的矩阵具有相同的最小多项式，而最小多项式相同的两矩阵不一定相似。利用此结论，我们可以判断两矩阵是否相似。下面我们分别讨论分块矩阵在这两方面的具体应用。

4.1求矩阵的最小多项式

首先我们给出矩阵的最小多项式的定义：次数最低的首项系数为1的以为根的多项式。

我们知道，有了上述定义矩阵的最小多项式是唯一了的。借助凯莱定理知，矩阵的最小多项式是特征多项式的因式，因此要求一个矩阵的最小多项式可以通过求其特征多项式，进一步判断特征多项式的诸多因式中哪一个是最小多项式。然而 

对于准对角矩阵，我们有如下定理：

   设是一个准对角矩阵，，并设的最小多项式为的最小多项式为，那么矩阵的最小多项式为的最小公倍式[]。

   且此结论可推广到为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形，即：

如果，的最小多项式为（=1,2，……s），那么的最小多项式为[，……,].

利用此结论，我们便可以利用更简便的方法很快求出具有某些特殊形式的矩阵的最小多项式。下面我们结合具体的例子来看其应用。

1、例：设，求矩阵的最小多项式

解：为准对角矩阵，将分块，令，其中=， =

则显然的最小多项式为，的最小多项式为(x-1),故的最小多项式为[，(x-1)]=.

这与通过特征多项式求来的的最小多项式是相同的。

例：设，求矩阵的最小多项式

解：为准对角矩阵，将分块，令，其中=， =，易见的最小多项式为，的最小多项式为,故的最小多项式为[，]=.

4.2 判断两矩阵是否相似

利用上述求最小多项式的方法，我们可以进一步判断两矩阵是否相似。首先我们给出矩阵相似的有关概念。

矩阵,相似：设，为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得=，就说相似于，记作～

用定义判断两矩阵是否相似有时候事比较困难的，对于某些给定的具有某些特征的矩阵，我们利用将矩阵分块的方法便可很容易的看出所给矩阵是否相似。

我们知道，矩阵与相似一定有与具有相同的最小多项式，而如果具有相同的最小多项式的两矩阵却不一定相似，但如果与的最小多项式都不相同，则此两矩阵必不相似。利用这一性质，我们便可很快判断出所给矩阵是否相似。下面我们看具体的例子：

1、例：设,    试判断，是否相似

解：，均为准对角矩阵，将，分别分块，令    

其中=， =

=， =

我们可以很快求出的最小多项式为，的最小多项式为（x-1）（x-2），故的最小多项式为（x-2）；的最小多项式为（x-1），的最小多项式为，故的最小多项式为（x-1）。

我们发现与的最小多项式都不相同，因而，不相似。

2、例：判断与是否相似？

解：与均为准对角矩阵，将，分别分块，令， 

其中=， =， =

=， =， =

我们可以求出的最小多项式为，的最小多项式为，的最小多项式为；故的最小多项式为；

的最小多项式为，的最小多项式为，的最小多项式为；故的最小多项式为。

我们发现与的最小多项式都不相同，因而，不相似。

5 总结

矩阵分块并不唯一，恰当地根据不同的问题进行不同的分块，将使问题的解决达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)【M】.北京：高等教育出版社，2003：181～320.

[2]丘维声.高等教育学习指导用书【M】.北京:清华大学出版社，2005：213～238.

[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.

[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法【J】.山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.

[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）【M】.北京：民族大学出版社，2002：1.

[6]徐天保.分块矩阵的应用【J】.安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.

[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程【J】.数学通报，1993：16～25.

The application of block matrix

Abstract：Matrix is an extremely important concept widely used ​​in algebra, particularly in liner algebra. But the block matrix is a matrix in dealing with the higher series methods commonly used and often, after block, the relationship between matrixes will see more clearly. Like matrix, block matrix has a wide range of applications. The author is to prove that the block matrix in the rank of matrix, solving the matrix equation and the minimal polynomial of a matrix to determine whether the similarity matrix of three to make a preliminary analysis of the application，each part of it is full of theoretical knowledge coupled with the classic example ，Which can fully illustrate the block matrix in dealing with issues related to the feasibility and simplicity.

Key words: block matrix, rank of matrix, matrix equation, minimal polynomial, matrix similarity

河北师范大学本科生毕业论文（设计）评议书