| 审批并签名 | A卷 |
课程 数学分析1 考试形式（闭卷，考试）
学院 数学与信息科学 系 专业 数学与应用数学、信息与计算科学
班级 学号 姓名_
| 题次 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 总分 | 评卷人 | ||
| 分数 | 10 | 15 | 36 | 8 | 31 | 100 | |||
| 评分 |
1、 0 ； 2 .
2、设，则是的可去间断点；是的第二类间断点.
3、设，若在点处连续，则 .
4、设，则 ； 0 .
5、函数在区间上满足拉格朗日中值定理公式中的 .
二、单项选择题 （每小题3分，共15分）
1、函数在点可导是在该点可微的（ C ）.
A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；
C．充分必要条件； D．既非充分也非必要条件；
2、若 ( B )，则数列收敛于.
A．有两个子列都收敛于； B．收敛于；
C．中有无限项； D．收敛于；
3、设在有定义，则下列叙述正确的是 ( D ).
A．存在的充要条件是均存在；
B．存在的充要条件是均存在；
C．在可导的充要条件是在的左右导数均存在；
D．在连续的充要条件是在既左连续又右连续；
4、当时，与为等价无穷小，则（ C ）.
A．0 B． C． D．1
5、函数在区间一致连续是在该区间连续的（ A ）.
A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；
C．充分必要条件； D．既非充分也非必要条件；
三、计算题（每小题6分，共36分）
1、求数列极限.
解：由 ………… 4分
又 ………… 5分
由迫敛性:. …………6分
2、求函数极限：.
解： 原式== ………2分
== ………4分
= ………5分
原式= ........6分
3、设，确定常数.
解：这是不定式极限，由于分母极限为0，如果极限存在的话，必须有：
，即： …………………2分
由此知 ……………………3分
故 ……………6分
4、设，求.
解：时， ；时， …………2分
时， …………3分
…………4分
，. …………6分
5、求函数的微分.
解： …………………………2分
两边对求导得： ……………4分
……………………5分
从而 ……………………6分
6、设函数二阶可导，，求.
解： ……………………3分
…………………6分
四、应用题 （8分）
设曲线的参数方程为.
(1)求该曲线在对应点的切线方程与法线方程；
(2)计算二阶导数.
解：（1）当时， ……………………1分
……………………3分
故所求的切线方程为：，即： ………4分
法线方程为：，即： …………5分
（2） . ……………………… 8分
五、证明题 （4小题，共31分）
1、叙述极限的归结原则，并应用它证明不存在.（8分）
解：归结原则：
设在上有定义，则的充要条件是：
对任何含于且趋于负无穷的数列，都有。……2分
由在上有定义，
设， ……………4分
显然 ……………5分
而
……………7分
由以及归结原则知：不存在.………8分
2、设，证明不等式： .（8分）
证明：(1)令 ………………1分
则时： ………………2分
在严格递减，由在处连续且知：
时， ………………3分
故：时，； ………………4分
（2）令， ……………5分
则时， ……………6分
在严格递增，由在处连续且知：
时， ………7分
故：时， ………………8分
综（1）（2）命题得证.
注：本题也可以用拉格朗日定理证明（略）
3、证明：在上一致连续. （6分）
证明：
……………2分
……………5分
当时，有
故在区间上一致连续. ……………6分
4、若在可导，且，
证明：方程在有且只有一个根. (9分)
证明：（1）设 ……………1分
由在连续得：在连续 ……………2分
又得： ……………3分
故由根的存在定理知：至少存在一点，使
即：方程在至少有一个根. ……………5分
（2）假设方程在有两个根，
即，使 ……………6分
由在可导得：在可导 ……………7分
故由罗尔中值定理知：至少存在一点，使……………8分
即：，这与“”矛盾！ ……………9分
故方程在只能有一个根.综（1）（2）命题得证.下载本文
