课程编号： 075005

课程名称：《数学分析（二）》

学时/学分： 96学时/6学分

先修课程：《数学分析（一）》

适用专业：数学与应用数学

开课系或教研室：数学系 函数论教研室

一、课程性质与任务

    1．课程性质：数学与应用数学专业的专业核心课

2．课程任务：通过教学使学生掌握数学分析的基本概念、基础理论和基本方法；熟悉和掌握数学分析的各种论证方法和演算方法；了解分析方法的各种实际应用；具备相当的分析基础，为进一步学习数学专业课程做好充分的准备。教学过程中要重视课堂教学、习题课、作业批改、讲评和课后辅导等各个环节，要求学生完成一定数量的基本习题，适当配备一些具有一定难度的课外思考题。

二、课程教学基本要求

本课程为专业课，共96学时，成绩考核形式为考试。

三、课程教学内容（注：带※者为重点内容）

（七）实数的完备性（8学时）

1、主要内容

※（1）实数连续性的基本定理：区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理；

(2）实数完备性基本定理之间的等价性（选学）；

 (3) 上极限和下极限（选学）。

2、目的和要求

掌握实数连续性的几个基本定理的内容，了解应用定理证明问题的方法步骤。

（八）不定积分（16学时）

    本章内容主要包括原函数与不定积分的概念，基本积分表，基本积分方法，几类特殊函数的积分。

1、主要内容

（1）不定积分的概念与基本积分公式：原函数与不定积分的概念，基本积分表；

※（2）基本积分方法：线性运算法则，换元积分法，分部积分法；

（3）有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分；

2、目的和要求

（1）熟悉原函数与不定积分的概念；

（2）熟练掌握线性运算法则，换元积分法与分部积分法；

（3）熟悉有理函数、三角函数有理式及其某些无理根式的不定积分。

（九）定积分（18学时）

    定积分是从实际问题中抽象出来的数学概念，是数学分析重要的组成部分之一。本章内容主要包括定积分的概念、牛--莱公式，可积条件、性质、计算；微积分学基本定理。

1、主要内容

※（1）定积分概念：概念的引入-实际问题，黎曼积分定义；

  （2）牛--莱公式。

※（3）可积条件：函数可积的必要条件，函数可积的充要条件，可积函数类（连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数）；

（4）定积分的性质：线性性质，积分区间的可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理；

※（5）微积分学基本定理：变限积分与原函数的存在性，积分第二中值定理；

（6）定积分的计算：换元积分法，分部积分法。

2、目的和要求

（1）熟悉定积分的概念——一种特定结构的和式的极限；

（2）了解上和与下和的概念，熟悉可积准则，可积的必要条件，可积的充要条件；

（3）熟悉可积函数类（连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数）；

（4）掌握可变上限定积分的性质，积分中值定理；

（5）熟练掌握线性性质、换元积分法、分部积分法，利用牛--莱公式计算定积分。

（十）定积分的应用（6学时）

     定积分在实际中有广泛的应用，本章主要包括其在几何上和物理上的某些应用。

1、主要内容

※（1）定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积；

（2）定积分在物理中的某些应用：液体静压力，引力，功与平均功率；

   (3) 定积分的近似计算（选学）。

2、目的和要求

（1）熟悉定积分的几何应用；

（2）了解定积分在物理上的应用；

（3）熟悉“微元法”。

（十一）反常积分（8学时）

本章内容主要包括反常积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；反常积分的性质与收敛判别法；收敛的反常积分的计算。

1、主要内容

※（1）无穷积分：无穷积分收敛与发散的概念，线性运算，柯西准则，绝对收敛与条件收敛，收敛判别法；

（2）瑕积分：瑕积分收敛与发散的概念，瑕积分的性质与收敛判别法。

2、目的和要求

（1）了解反常积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念，熟悉收敛的判别法，会讨论反常积分的敛散性及绝对收敛与条件收敛性；

（2）熟悉收敛的反常积分的计算。

（十二）数项级数（12学时）

    级数是表示函数的一个重要的数学工具，是研究函数性质的一个重要手段。本章内容主要包括数项级数的概念；数项级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；正项级数与任意项级数敛散性的判别法。

1、主要内容

（1）数项级数的收敛性：无穷级数的收敛、发散、和等概念，收敛级数的基本性质，柯西准则；

※（2）正项级数：收敛原理，比较原则，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

 (3) 拉贝判别法；（选学）

※（4）任意项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。

2、目的和要求

（1）熟悉数项级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念及其收敛级数的基本性质；

（2）熟练掌握正项级数敛散性的判别法；

（3）掌握交错级数与莱布尼兹判别法；

（4）掌握几何级数与P级数的敛散性；

（5）熟悉绝对收敛与条件收敛的概念与判定；

（6）掌握阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。

（十三）函数列与函数项级数（12学时）

    本章内容主要包括函数列、函数项级数、一致收敛等概念；函数项级数一致收敛判别法；一致收敛函数列与函数项级数的性质。

1、主要内容

（1）一致收敛性：函数列的收敛、收敛域、极限函数、一致收敛，函数项级数的和函数、一致收敛性；

※（2）函数列与函数项级数一致收敛性判别法：一致收敛柯西准则，维尔斯特拉斯优级数判别法，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法；

※（3）函数列的极限函数与函数项级数和函数的分析性质：连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项微分）。

2、目的和要求

（1）理解并掌握函数列与函数项级数一致收敛的概念；

（2）熟悉函数列一致收敛的充要条件定理；

（3）掌握函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯优级数判别法；

（4）熟悉函数列与函数项级数和函数的分析性质及其证明，并会应用；

（5）熟悉一致收敛柯西准则，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。

（十四）幂级数（10学时）

     本章内容主要包括幂级数的概念、收敛半径、收敛域、性质与运算；函数的幂级数展开。

1、主要内容

※（1）幂级数：阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛域，一致收敛性，和函数的连续性，可积性，可微性；

（2）函数的幂级数展开：泰勒级数，函数展开为幂级数的条件，初等函数的幂级数展开；

 (3) 复变量的指数函数-欧拉公式（选学）。

2、目的和要求

（1）会求幂级数的收敛半径、收敛域、和函数；

（2）了解泰勒定理的内容，幂级数的性质与运算；

（3）熟悉几个初等函数的幂级数展开式并会间接求某些函数的泰勒展开式；

（十五）傅里叶级数（6学时）

    本章内容主要包括傅里叶级数的概念、收敛定理；奇函数与偶函数的傅里叶级数；以为周期的函数的傅里叶级数及展开。

1、主要内容

※（1）傅里叶级数：三角级数，正交函数系，以为周期的函数的傅里叶级数，收敛定理；

（2）以为周期的函数的傅里叶级数：以为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数；

（3）收敛定理的证明。

2、目的和要求

（1）熟悉三角函数的正交性与函数的傅里叶级数的概念；

（2）熟悉收敛定理的内容，了解收敛定理的证明；

（3）会求某些函数的傅里叶级数展开式；

四、学时分配表

教材： 《数学分析》   主编：华东师大数学系

                      出版社：高等教育出版社  出版或修订时间2010.7第四版

参考书：1《数学分析学习指导书》  主编：吴良森等

                      出版社：高等教育出版社  出版或修订时间2004.8第一版

        2 《 数学分析讲义学习辅导书》  主编：刘玉琏等

出版社：高等教育出版社  出版或修订时间2003.12第二版

        3 《 数学分析习题课讲义》   主编：谢惠民等

                     出版社：高等教育出版社  出版或修订时间2004.1第一版

执笔：

审定：

                                                                                                               下载本文