典例：设f(x)=log2,F(x)=+f(x).

(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)>;

(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.

案例探究

［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.

(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；

(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.

指数函数、对数函数问题

一、选择题

1.定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么(    )

A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10－x+2)

B.g(x)=［lg(10x+1)+x］,h(x)= ［lg(10x+1)－x］

C.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－

D.g(x)=－,h(x)=lg(10x+1)+

2.当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是(    )

二、填空题

3.已知函数f(x)=.则f-－1(x－1)=_________.

4.如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=

ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.

三、解答题

5.设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

6.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f()的大小，并加以证明.

7.已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.

8.设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.下载本文