一、选择题（每题3分，共30分）．

1．（3分）﹣的绝对值是（　　）

A． B．﹣ C．3 D．﹣3

2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．正五边形

C．正方形 D．平行四边形

3．（3分）如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．b3•b3＝2b3         B．a﹣（b+c）＝a﹣b+c

C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a5）2＝a10

5．（3分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　）

A．y1＜0＜y2 B．y1＞0＞y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＜y2＜0

6．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式

B．某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖

C．若甲组数据的方差s甲2＝0.1，乙组数据的方差s乙2＝0.2，则乙组数据比甲组数据稳定

D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3

7．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，则整数x的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

9．（3分）在如图网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）要使代数式有意义，则x应满足　   　．

12．（3分）分解因式：3a2+6a+3＝　   　．

13．（3分）有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　   　．

14．（3分）如图所示是若干个大小相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是　   　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙O为ABC的内切圆，OA，OB与⊙O分别交于点D，E，则劣弧DE的长是　   　．

16．（3分）如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是　   　．

三、解答题（共9小题，满分102分）

17．（9分）解方程：2（x+3）＝3（x﹣2）

18．（9分）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝BD．

求证：AB＝DE．

19．（10分）已知P＝（a﹣3+）÷．

（1）化简P；

（2）若a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，求P的值．

20．（10分）某班举行跳绳比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完善．

请你根据统计图解答下列问题：

（1）参加比赛的学生共有　   　名；

（2）在扇形统计图中，m的值为　   　，表示D等级的扇形的圆心角为　   　度；

（3）先决定从本次比赛获得B等级的学生中，选出2名去参加学校的游园活动，已知B等级学生中男生有2名，其他均为女生，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生一名女生的概率．

21．（12分）疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进A，B两种型号的口罩．若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元，

（1）求A，B两种型号的口罩每盒各需多少元？

（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理由．

22．（12分）如图所示，一次函数y＝k1x+8的图象与坐标轴分别相较于点A，B与反比例y＝函数的图象相交于C，D．过点C作CE⊥y轴，垂足为E，且CE＝2．

（1）求4k1﹣k2的值；

（2）若CD＝2AC，求反比例函数的解析式．

23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，点O为边BC上一点，以O为圆心的圆经过点A，B．

（1）求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：AC是⊙O的切线；

（3）若点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，求线段PC的长．

24．（14分）已知抛物线G：y＝x2﹣2mx与直线l：y＝3x+b相交于A，B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标）．

（1）求抛物线y＝x2﹣2mx顶点的坐标（用含m的式子表示）；

（2）已知点C（﹣2，1），若直线l经过抛物线G的顶点，求△ABC面积的最小值；

（3）若平移直线l，可以使A，B两点都落在x轴的下方，求实数m的取值范围．

25．（14分）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；

（3）求线段CF的长度的最小值．

2020年广东省广州市越秀区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）．

1．【解答】解：|﹣|＝．

故选：A．

2．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．

故选：C．

3．【解答】解：∵CD⊥AB，CD是直径，

∴AE＝EB＝AB＝5，

故选：B．

4．【解答】解：A．b3•b3＝b6，故本选项不合题意；

B．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故本选项不合题意；

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；

D．（a5）2＝a10，正确．

故选：D．

5．【解答】解：由于k＝﹣3小于0，说明函数图象分布在二四象限，

若x1＜0，x2＞0，说明A在第二象限，B在第四象限．

第二象限的y值总大于0，总比第四象限的点的y值大．

∴y1＞0＞y2．

故选：B．

6．【解答】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；

B、某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票可能会中奖，不符合题意；

C、若甲组数据的方差s甲2＝0.1，乙组数据的方差s乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；

D、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；

故选：D．

7．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．

“4”与“2x﹣3”是相对面，

“﹣3”与“3x﹣1”是相对面，

“1”与“﹣2”是相对面，

∵相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，

∴4（2x﹣3）＜0，

﹣3（3x﹣1）＜0，

解得＜x＜，

∴x＝1．

故选：B．

8．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2（m﹣1）x+1＝0有两个相等的实数根，

∴△＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，

解得，m＝2．

故选：C．

9．【解答】解：如图取格点K，连接BK，则CD∥BK．

过点K作KH⊥AB于H．

∵S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH，AB＝＝，

∴HK＝＝，

∵BH＝＝＝，

∵CD∥BK，

∴∠AOC＝∠ABK，

∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，

故选：A．

10．【解答】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，

故A错误；

B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，

故B错误；

C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，

故C错误；

D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，

故D正确；

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，

解得：x≥﹣2且x≠1．

故答案为：x≥﹣2且x≠1．

12．【解答】解：3a2+6a+3，

＝3（a2+2a+1），

＝3（a+1）2．

故答案为：3（a+1）2．

13．【解答】解：依题意，得：1+x+x（1+x）＝121．

故答案为：1+x+x（1+x）＝121．

14．【解答】解：在俯视图标出相应位置摆放小立方体的个数，如图所示：

因此需要小立方体的个数为7，

故答案为：7．

15．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵⊙O为ABC的内切圆，

∴OD＝＝2，OB平分∠BAC，OC平分∠ABC，

∴∠AOB＝90°+∠C＝90°+×90°＝135°，

∴劣弧DE的长＝＝π．

故答案为π．

16．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，

∵AG⊥CF，

∴∠AGF＝90°，

∴∠GAF+∠F＝90°，

∵∠BCF+∠F＝90°，

∴∠GAF＝∠BCF，

∴△ABE≌△CBF（ASA），

故此小题结论正确；

②∵AG是∠CAB的角平分线，

∴∠BAG＝∠CAG，

∵∠AGB＝∠AGC＝90°，AG＝AG，

∴△ABG≌△ACG（ASA），

∴FG＝CG，

故此小题结论正确；

③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，

∴BG＝CG，

∴∠CBG＝∠BCG，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴∠ABG＝∠DCG，

∵AB＝DC，

∴△ABG≌△DCG（SAS），

∴∠AGB＝∠DGC，

∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，

∴∠AGB+∠AGD═90°，

∴BG⊥DG，

故此小题结论正确；

④∵△ABG≌△DCG，

∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，

∵∠DCH＝∠ACE，

∴△DCH∽△ACE，

∴，

∴DH＝，

故此小题结论错误．

由上可知，正确的结论是①②③，

故答案为：①②③．

三、解答题（共9小题，满分102分）

17．【解答】解：去括号得：2x+6＝3x﹣6

移项、合并同类项得：﹣x+12＝0

系数化1得：x＝12．

18．【解答】证明：∵AC∥BD，

∴∠ACB＝∠DBC，

∵AC＝BE，BC＝BD，

∴△ABC≌△EDB，

∴AB＝DE．

19．【解答】解：（1）P＝（a﹣3+）÷

＝×

＝×

＝a2﹣3a；

（2）∵a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，

∴a2﹣a﹣2＝0，

∴a2﹣3a＝6，

∴P的值是6．

20．【解答】解：（1）3×15%＝20（名）；

故答案为：20；

（2）∵8÷20＝40%，

∴m＝40；

表示D等级的扇形的圆心角为：360°×＝72°；

故答案为：40，72；

（3）B等级学生人数为20﹣3﹣8﹣4＝5（人），B等级学生中男生有2名，则女生有3名，

画树状图如图：

共有20个等可能的结果，所选2名学生恰好是一名男生一名女生的结果有12个，

∴所选2名学生恰好是一名男生一名女生的概率为＝．

21．【解答】解：（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，

依题意，得：，

解得：．

答：购进A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元．

（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，

依题意，得：m≤6（200﹣m），

解得：m≤171．

设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．

∵﹣125＜0，

∴w随m的增大而减小，

又∵m≤171，且m为整数，

∴当m＝171时，w取得最小值，此时200﹣m＝29．

∴最省钱的购买方案为：购进171盒A型口罩，29盒B型口罩．

22．【解答】解：（1）∵CE＝2，

∴C点的横坐标为﹣2，

当x＝﹣2时，y＝k1x+8＝﹣2k1+8；

当x＝﹣2时，y＝＝﹣，

∴﹣2k1+8＝﹣

∴4k1﹣k2＝16；

（2）作DF⊥y轴于F，如图，

∵CE∥DF，

∴＝，

而CD＝2AC，

∴＝，解得DF＝6，

当x＝﹣6时，y＝k1x+8＝﹣6k1+8；

当x＝﹣6时，y＝＝﹣

∴﹣6k1+8＝﹣，

∴36k1﹣k2＝48，

∵4k1﹣k2＝16；

∴k1＝1，k2＝﹣12，

∴反比例函数解析式为y＝﹣．

23．【解答】解：（1）如图，圆O即为所求；

（2）证明：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠B＝30°，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B＝30°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，

∴OA⊥AC，OA是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（3）∵弧PA＝弧PB，

∴符合条件的点P有两个，P′和P″，连接P′C和P″C，

作P′E⊥BC于点E，

∵OP′⊥AB，

根据垂径定理，得

AF＝BF＝AB＝，

∵∠B＝30，

∴∠P′OB＝60°，

∴OB＝＝，

∴P′E＝BF＝，

BE＝OB＝，

∵AB＝AC＝2，

作AD⊥BC于点D，则AD＝，DC＝，

∴BC＝2DC＝2，

∴CE＝BC﹣BE＝，

∴P′C＝＝；

连接P″C，

∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，

∴△AOC≌△P″OC（SAS），

∴P″C＝AC＝2．

综上所述：线段PC的长为或2．

24．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，

∴顶点的坐标为（m，﹣m2）；

（2）∵直线l：y＝3x+b过点（m，﹣m2），

∴﹣m2＝3m+b，b＝﹣m2﹣3m，

∴y＝3x﹣m2﹣3m．

解方程组，解得，或，

∵点A的横坐标小于点B的横坐标，

∴A（m，﹣m2），B（m+3，9﹣m2）．

如图，过C作CH⊥x轴交AB于H．

∵C（﹣2，1），直线AB的解析式为y＝3x﹣m2﹣3m，

∴H（﹣2，﹣6﹣m2﹣3m），

∴CH＝1﹣（﹣6﹣m2﹣3m）＝7+m2+3m，

∴S△ABC＝（7+m2+3m）（m+3﹣m）

＝m2+m+

＝（m+）2+，

∴当m＝﹣时，△ABC的面积最小，最小值是；

（3）由（2）可知，A（m，﹣m2），B（m+3，9﹣m2）．

∵A，B两点都落在x轴的下方，

∴，

解得m＞3或m＜﹣3，

即实数m的取值范围是m＞3或m＜﹣3．

25．【解答】解（1）如图1，作DK⊥AB于点K，

∵将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，

∴∠AEF＝α，AE＝EF，

在Rt△DAK中，

∵cos∠DAK＝cosα＝，且AD＝13，

∴AK＝5，

∴DK＝＝＝12，

∴S平行四边形ABCD＝AB×DK＝25×12＝300；

（2）如图2，延长CD至H，作∠AHD＝α，

∵∠AHD＝∠ADH＝α，

∴AH＝AD＝13，

过点A作AM⊥DH于点M，

由（1）知AM＝12，

∴DM＝＝5，

∴DH＝10，

∵∠FEH＝∠DEA+∠α＝∠F+α，

∴∠DEA＝∠F，

在△AEH和△EFC中，

，

∴△AEH≌△EFC（AAS），

∴EH＝CF，CE＝AH＝13，

∴DE＝CD﹣CE＝12，BF＝CF﹣BC＝22﹣13＝9，

∵BG∥CE，

∴△FBG∽△FCE，

∴，

即，

∴BG＝；

（3）如图3，延长CD至P，使∠P＝∠ADP＝α，过点F作FM∥BC，交CD于点M，过点FN⊥CD，交CD于点N，

由（2）可知∠AEP＝∠EFM，

在△EAP和△FEM中．

，

∴△EAP≌△FEM（AAS），

∴EM＝AP＝13，FM＝EP，

设DE＝x，则FM＝EP＝10+x，CM＝25﹣（13+x）＝12﹣x，

∴FN＝FM•sinα＝（10+x），MN＝FM•cosα＝（10+x），

∴CN＝CM+MN＝12﹣x+（10+x）＝，

在Rt△CFN中，CF2＝CN2+NF2＝（208x2﹣416x+56836），

对称轴x＝﹣＝1，

∴当x＝1时，CF的值最小，CF的最小值为．下载本文