一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。

1．－5的相反数是

A、5     B、－5     C、     D、

2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米。将2500000用科学记数法表示应为

A、0.25×107     B、2.5×107     C、2.5×106     D、25×105

3．在函数中，自变量x的取值范围是

A、x≠3     B、x≠0     C、x＞3     D、x ≠ －3

4．如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE=155°，则∠DBC的度数为

A、155°     B、50°     C、45°     D、25°

5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语。他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是

A、32，31     B、32，32     C、3，31     D、3，32

6、把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是

A、     B、     C、     D、

7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为

A、     B、     C、     D、

8．将如右图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若关于x得一元二次方程x2－3x＋m=0有实数根，则m的取值范围是             。

10．若，则m+n的值为             。

11．用“☆”定义新运算： 对于任意实数A、b， 都有a☆b=b2＋1。 例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3=         ；当m为实数时，m☆（m☆2）=                       。

12．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为         cm2。

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：。

14．解不等式组：。

15．解分式方程：。

16．已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC。

求证：BC=EF。

17．已知2x－3=0，求代数式x（x2－x）＋x2（5－x）－9的值。

18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=。求：BE的长。

四、解答题（本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分）

19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°。

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长。

20．根据北京市统计局公布的2000年、2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：

2000年、2005年北京市常住人口中受教育程度情况统计表（人数单位：万人）

（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？

（2）2005年北京市常住人口中，少儿（0～14岁）人口约为多少万人？

（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法。

21．在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式。

22．请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。

小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0）。依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=。由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长。于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形。

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形。要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形。

说明：直接画出图形，不要求写分析过程。

五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分）

23．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

24．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

2006年北京市中考（课标A卷） 数学考卷

参

一、选择题

1．A

2．C    

3．A            

4．D

5．B            

6．C            

7．D            

8．B

二、填空题

9．    

10．2            

11．10  26        

12．30

三、解答题

13．解： 

14．解不等式组

    解：由不等式①解得

    由不等式②解得  

    则不等式组的解集为  

15．解： 

    经检验是原方程的解。

    所以原方程的解是

16．证明：因为AB∥ED，

    则∠A＝∠D

    又AF＝DC

    则AC＝DF

    在△ABC与△DEF中

    所以△ABC≌△DEF

    所以BC＝EF

17．解： 

    当时，原式

18．解：如图，过点D作DF∥AB交BC于点F

    因为AD∥BC

    所以四边形ABFD是平行四边形

    所以BF＝AD＝1

    由DF∥AB

    得∠DFC＝∠ABC＝90°

    在Rt△DFC中，∠C＝45°，CD

    由  

    求得  CF＝2

    所以  BC＝BF＋FC＝3

    在△BEC中，∠BEC＝90°

    求得  BE＝

四、解答题

19．解：（1）证明：如图，连结OA。

    因为

    所以  ∠B＝30°

    故∠O＝60°

    又OA＝OC，

    所以△ACO是等边三角形

    故∠OAC＝60°

    因为∠CAD＝30°

    所以∠OAD＝90°

    所以  AD是⊙O的切线。

    （2）解：因为OD⊥AB

    所以OC垂直平分AB

    则AC＝BC＝5

    所以OA＝5

    在△OAD中，∠OAD＝90°

    由正切定义，有

所以  AD＝5

20．解：（1）1536－1382＝154（万人）

    故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人。

    （2）1536×10.2%＝156.672≈157（万人）

    故2005年北京市常住人口中，少儿（0～14岁）人口约为157万人。

    （3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%。可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高。

21．解：依题意得，直线l的解析式为  y＝x

    因为A（a，3）在直线y＝x上

    则a＝3

    即 A（3，3）

    又因为A（3，3）在的图象上

    可求得  k＝9

    所以  反比例函数的解析式为  

22．解：所画图形如图所示。

五、解答题

23．解：图略

    （1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。

    （2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。

    证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG

    因为∠1＝∠2，AF为公共边

    可证△AEF≌△AGF

    所以  ∠AFE＝∠AFG，FE＝FG

    由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

    可得∠2＋∠3＝60°

    所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°

    所以∠CFG＝60°

    由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD

    所以FG＝FD

    所以FE＝FD

    证法二：如下图，

    过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H

    因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

    所以可得∠2＋∠3＝60°，F是△ABC的内心

    所以  ∠GEF＝60°＋∠1，FG＝FH

    又因为  ∠HDF＝∠B＋∠1

    所以  ∠GEF＝∠HDF

    因此可证△EGF≌△DHF

    所以  FE＝FD

24．解：（1）根据题意，c＝3

    所以

    解得

    所以  抛物线解析式为

    （2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）

    设直线CD的解析式为

    当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为

    当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为

    （3）如图，由题意，可得

    点M关于x轴的对称点为

点A关于抛物线对称轴的对称点为A'（6，3）

    连结A'M'

    根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求

    点P运动的最短总路径的长

    所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x＝3的交点为所求F点。

    可求得直线A'M'的解析式为

    可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）

    由勾股定理可求出

所以点P运动的最短总路径（ME＋EF＋FA）的长为。

25．解：（1）略。

    （2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。

    已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD

    且∠AOD＝60°

    求证：BC＋AD≥AC

    证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE＝AC

    连结CE、BE

    故∠EDO＝60°，四边形ACED是平行四边形

    所以△BDE是等边三角形，CE＝AD

    所以DE＝BE＝AC

    ①当BC与CE不在同一条直线上时（如下图）

    在△BCE中，有BC＋CE＞BE

    所以BC＋AD＞AC

    ②当BC与CE在同一条直线上时（如下图）

    则BC＋CE＝BE

    因此  BC＋AD＝AC

    综合①、②，得  BC＋AD≥AC。

    即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。下载本文