一．选择题（共12小题）
1．（2015•四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R都有f（x）﹣1≤|f（α）﹣1|，则tanα的值为（ ）
| A． | B． | C． | ﹣ | D． | ﹣ |
2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（ ）
| A． | y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 | |
| B． | y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 | |
| C． | y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 | |
| D． | y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 |
3．（2014•郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
4．（2014•太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
| A． | B． | 3 | C． | 6 | D． | 9 |
5．（2014•抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（ ）
| A． | ﹣ | B． | C． | ﹣ | D． |
6．（2015•广东模拟）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
7．（2014•邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
| A． | 最小正周期为π的偶函数 | B． | 最小正周期为π的奇函数 | |
| C． | 最小正周期为的偶函数 | D． | 最小正周期为的奇函数 |
8．（2014•浙江模拟）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
9．（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（ ）
| A． | [kπ﹣，kπ+]（k∈Z） | B． | [kπ，kπ+]（k∈Z） | C． | [kπ+，kπ+]（k∈Z） | D． | [kπ﹣，kπ]（k∈Z） |
10．（2013•惠州模拟）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
11．（2011•长春模拟）已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意x1，x2，给出下列结论：
①（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；
④．
其中正确结论的个数为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
12．（2011•中山市三模）方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
| A． | sinφ=φcosθ | B． | sinφ=﹣φcosθ | C． | cosφ=θsinθ | D． | sinθ=﹣θsinφ |
二．解答题（共12小题）
13．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．
14．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．
15．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
16．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
17．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
19．（2014•淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
20．（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
21．（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．
23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（ex﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（ex+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．
关于三角函数的练习题
参与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015•四川模拟）若函数f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，若对任意x∈R都有f（x）﹣1≤|f（α）﹣1|，则tanα的值为（ ）
| A． | B． | C． | ﹣ | D． | ﹣ |
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | 将三角函数进行化简，利用三角函数的周期公式求出ω，即可得到结论． |
| 解答： | 解：f（x）=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx=﹣1﹣3sin2ωx+4×=2cos2ωx﹣3sin2ωx+1=[cos2ωx﹣sin2ωx]+1， 设cosθ=，sinθ=，则tanθ=， 则函数f（x）=cos（2ωx+θ）+1，θ为参数， 则函数的周期T=，则，即f（x）=2cosx﹣3sinx+1=cos（x+θ）+1， 若对任意x∈R都有f（x）﹣1≤|f（α）﹣1|， 则f（α）为函数f（x）的最大值， 即α+θ=2kπ， 则α=﹣θ+2kπ， 则tanα=tan（﹣θ+2kπ）=﹣tanθ=﹣， 故选：C |
| 点评： | 本题主要考查三角函数的图象和性质，重点考查三角函数的周期性和最值性，利用辅助角公式是解决本题的关键． |
2．（2014•包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（ ）
| A． | y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 | |
| B． | y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 | |
| C． | y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 | |
| D． | y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 |
| 考点： | 正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案． |
| 解答： | 解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x． 它的对称轴方程可以是：x=；所以A，C错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误；D正确． 故选D |
| 点评： | 本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型． |
3．（2014•郴州二模）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值． |
| 解答： | 解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+） ∴﹣ω+kπ= ∴ω=6k+（k∈Z）， 又∵ω＞0 ∴ωmin=． 故选D． |
| 点评： | 本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题． |
4．（2014•太原二模）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
| A． | B． | 3 | C． | 6 | D． | 9 |
| 考点： | 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． |
| 解答： | 解：函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈z．令k=1，可得ω=6． 故选C． |
| 点评： | 本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型． |
5．（2014•抚顺二模）已知sin（π﹣2x）﹣1=cos2x（0＜x＜π），则tan2x的值是（ ）
| A． | ﹣ | B． | C． | ﹣ | D． |
| 考点： | 同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的求值． |
| 分析： | 首先，借助于诱导公式和二倍角公式，化简得到tanx=2，然后，利用二倍角的正切公式进行求解． |
| 解答： | 解：∵sin（π﹣2x）﹣1=cos2x， ∴sin2x﹣1=cos2x， ∴sin2x=1+cos2x=2cos2x， ∴sinxcosx=2cos2x， ∴tanx=2， ∴tan2x=， =， ∴tan2x的值是﹣． 故选：A． |
| 点评： | 本题重点考查了二倍角公式、诱导公式等知识，属于基础题． |
6．（2015•广东模拟）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项． |
| 解答： | 解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1 显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π” 后者推不出前者， 故选A． |
| 点评： | 本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题． |
7．（2014•邯郸二模）函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣）是（ ）
| A． | 最小正周期为π的偶函数 | B． | 最小正周期为π的奇函数 | |
| C． | 最小正周期为的偶函数 | D． | 最小正周期为的奇函数 |
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；综合题． |
| 分析： | 化简函数是用一个角的一个三角函数的形式表示，然后求出周期，判断奇偶性． |
| 解答： | 解：函数= 所以函数是最小正周期为π的奇函数． 故选B． |
| 点评： | 本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦，正弦函数的奇偶性，是基础题． |
8．（2014•浙江模拟）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值． |
| 解答： | 解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+） 将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数 ∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+） ∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+） ∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+） ∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ ∴n=﹣+kπ n大于0的最小值等于 故选C． |
| 点评： | 本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移． |
9．（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（ ）
| A． | [kπ﹣，kπ+]（k∈Z） | B． | [kπ，kπ+]（k∈Z） | C． | [kπ+，kπ+]（k∈Z） | D． | [kπ﹣，kπ]（k∈Z） |
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | 由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案． |
| 解答： | 解：若对x∈R恒成立， 则f（）等于函数的最大值或最小值 即2×+φ=kπ+，k∈Z 则φ=kπ+，k∈Z 又 即sinφ＜0 令k=﹣1，此时φ=，满足条件 令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z 解得x∈ 故选C |
| 点评： | 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键． |
10．（2013•惠州模拟）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 正弦函数的图象．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；数形结合． |
| 分析： | 根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案． |
| 解答： | 解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2sinθ，l=2θR=2θ， ∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力． |
11．（2011•长春模拟）已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x1＜x2＜π的任意x1，x2，给出下列结论：
①（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1；
④．
其中正确结论的个数为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| 考点： | 正弦函数的单调性；直线的斜率．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题；压轴题． |
| 分析： | 根据条件和正弦函数的单调性判断①，根据对条件进行变形和正弦函数的图象，以及直线斜率的几何意义判断②，利用正弦函数的单调性判断③，根据正弦函数的图象进行判断④． |
| 解答： | 解：①、由（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0得f（x）为增函数，因为函数y=f（x）在（0，π）上先增后减，故①错误； ②、由于，将视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，结合函数图象可知横坐标越大，斜率越小，故②正确； ③、当x∈（0，π）时，y=f（x）﹣x=sinx﹣x，则y′=cosx﹣1＜0， 所以函数y=sinx﹣x为减函数，即f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1，故③正确； ④、由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，∀x1，x2∈（0，+∞），故④正确． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了正弦函数的单调性和图象的应用，需要所给的条件进行化简后，根据正弦函数的性质进行判断，考查了数形结合思想． |
12．（2011•中山市三模）方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
| A． | sinφ=φcosθ | B． | sinφ=﹣φcosθ | C． | cosφ=θsinθ | D． | sinθ=﹣θsinφ |
| 考点： | 正弦函数的图象．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；综合题；压轴题；数形结合． |
| 分析： | 由题意构造函数y1=|sinx|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项． |
| 解答： | 解：依题意可知x＞0（x不能等于0） 令y1=|sinx|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象． 因为原方程有且只有两个解，所以y2与y1仅有两个交点，而且第二个交点是y1和y2相切的点， 即点（θ，|sinθ|）为切点，因为（﹣sinθ）′=﹣cosθ，所以切线的斜率k=﹣cosθ．而且点（φ，sinφ）在切线y2=kx=﹣cosθx上． 于是将点（φ，sinφ）代入切线方程y2=xcosθ可得：sinφ=﹣φcosθ． 故选B． |
| 点评： | 本题是中档题，考查数形结合的思想，函数图象的交点，就是方程的根，注意：y1的图象只有X轴右半部分和y轴上半部分，且原点处没有值（因为x不等于0）；y2的图象是过原点的一条直线． |
二．解答题（共12小题）
13．（2015•泸州模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的相邻两对称轴间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求使f（x）≥成立的x的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=﹣cosωx，其中g′（x）是g（x）的导函数，若g（x）=，且，求cos2x的值．
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的求值． |
| 分析： | （Ⅰ）由周期求得ω，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质求得使f（x）≥成立的x的取值范围． （Ⅱ）由条件求得g（x）的解析式，．再根据，求得，再利用两角差的余弦公式求得cos（2x）=cos[（2x+）﹣]的值． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）∵函数图象的相邻两对称轴间的距离， ∴函数的周期T=π，∴f（x）=sin（2x+φ）． 将f（x）的图象向左平移个单位后得到的函数为， ∵图象关于y轴对称，∴． 又，∴，即， 由得：，即， ∴使的x的取值范围是． （Ⅱ）∵，∴． 令得，解得， ∴． ∵，∴． ∵，∴，∴， ∴． |
| 点评： | 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题． |
14．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．
| 考点： | 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | （Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+）， ∴f（x）的最小正周期T==π， 可知y0为函数的最大值3，x0=； （Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]， ∴2x+∈[﹣，0]， ∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0， 当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3 |
| 点评： | 本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． |
15．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | （Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得 φ 的值． （Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2． 再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z． 结合﹣≤φ＜可得 φ=﹣． （Ⅱ）∵f（）=（＜α＜）， ∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=． 再根据 0＜α﹣＜， ∴cos（α﹣）==， ∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin =+=． |
| 点评： | 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． |
16．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）．
（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；
（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | （Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值． （Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin（+t），t∈[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint，t∈[0，24）． ∴f（8）=10﹣cos﹣sin=10﹣×（﹣）﹣=10， 故实验室这一天上午8时的温度为10℃． （Ⅱ）∵f（t）=10﹣cost﹣sint=10﹣2sin（+t），t∈[0，24）． ∴＜+t＜，故当+t=，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12， 当+t=，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． |
| 点评： | 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题． |
17．（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
| 考点： | 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ≤t+＜，解得t的范围，可得结论． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24）， ∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12， 当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+）， 由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ≤t+＜， 解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温． |
| 点评： | 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题． |
18．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
| 考点： | 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 |
| 专题： | 三角函数的图像与性质． |
| 分析： | （1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值． （2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ） 的值． |
| 解答： | 解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=． ∴Asin（+）=Asin=A•=， ∴A=． （2）由（1）可得 f（x）=sin（x+）， ∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sincosθ=cosθ=， ∴cosθ=，再由 θ∈（0，），可得sinθ=． ∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=． |
| 点评： | 本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题． |
19．（2014•淮安模拟）某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
| 考点： | 弧度制的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题；导数的概念及应用． |
| 分析： | （1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）； （2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大． |
| 解答： | 解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米， ∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ， ∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）； （2）∵S（θ）=200cosθ+100θ， ∴S′（θ）=﹣200sinθ+100， 令S′（θ）=0，可得θ=． 函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减， ∴θ=时，绿化带总长度最大． |
| 点评： | 利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性． |
20．（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
| 考点： | 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断；导数的运算；等差数列的通项公式；同角三角函数基本关系的运用；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．菁优网版权所有 | ||||||
| 专题： | 综合题；压轴题；三角函数的图像与性质． | ||||||
| 分析： | （1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx； （2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案； （3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案． | ||||||
| 解答： | 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω==2， 又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π）， 故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x． 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象， 再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象， ∴g（x）=sinx． （2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜， ∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x， 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解． 设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣cos2x，x∈（，）， 则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx）， ∵x∈（，）， ∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增， 又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意． （3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0， 当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解， ∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）． 现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况． 令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π）， 则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=， 当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表： x | （0，） | （，π） | （π，） | （，2π） | ||
| h′（x） | + | 0 | ﹣ | ﹣ | 0 | + | |
| h（x） | ↗ | 1 | ↘ | ↘ | ﹣1 | ↗ |
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
| 综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． | |
| 点评： | 本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题． |
21．（2011•福建）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．
| 考点： | 任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．菁优网版权所有 |
| 专题： | 综合题；压轴题；转化思想． |
| 分析： | （I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果． （II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值． |
| 解答： | 解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得： 于是f（θ）===2 （II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示 其中A（1，0），B（1，1），C（0，1） 于是0≤θ≤ ∴f（θ）== 且 故当，即时，f（θ）取得最大值2 当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1 |
| 点评： | 本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． |
22．求tan9°+cot117°﹣tan243°﹣cot351°的值．
| 考点： | 运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 先把角用诱导公式化成锐角，再切化弦，同分化简即可． |
| 解答： | 解：原式=tan9°﹣tan27°﹣cot27°+cot9° =（tan9°+cot9°）﹣（tan27°+cot27°） = =． |
| 点评： | 本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，和差化积公式，是中档题． |
23．定义双曲正弦函数y=sin hx=（ex﹣e﹣x），双曲余弦函数y=cos hx=（ex+e﹣x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．
| 考点： | 同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；新定义． |
| 分析： | （1）由sin hx=（ex﹣e﹣x） 是奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．同理写出cos hx=（ex+e﹣x）的性质． （2）利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，计算求得 cos h2（x）﹣sin h2（x）=1；cot h2（x）﹣csc h2（x）=1；tan h2（x）+sec h2（x）=1． （3）利用两角和差的三角公式，写出sin h（x+y）、sin h（x﹣y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x﹣y ）的表达式． |
| 解答： | 解：（1）sin hx=（ex﹣e﹣x） 奇函数，单调递增，无周期性，值域为R． cos hx=（ex+e﹣x） 偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）． （2）tan hx=；cot hx=；sec hx=；csc hx=． cos h2（x）﹣sin h2（x）=1；cot h2（x）﹣csc h2（x）=1；tan h2（x）+sec h2（x）=1． （3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y）， sin h（x﹣y）=sin h（x）•cos h（y）﹣cos h（x）•sin h（y）， cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y）， cos h（x﹣y）=cos h（x）•cos h（y）﹣sin h（x）•sin h（y）， tan h（x+y）=；tan h（x﹣y）=． |
| 点评： | 本题考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，是一道基础题． |
24．已知对任意x∈R，acosx+bcos2x+1≥0，恒成立（其中b＞0），求a+b的最大值．
| 考点： | 复合三角函数的单调性；两角和与差的正弦函数．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． |
| 分析： | 变形得：acosx+bcos2x+1=2bcos2x+acosx+1﹣b，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，则当f（t）=2bt2+at+1﹣b≥0时，t∈[﹣1，1]恒成立，分b＞1，0＜b≤1两种情况讨论：b＞1时易判断不成立；0＜b≤1时可得f（1）≥0，f（﹣1）≥0，由此可得|a|≤b+1（*），再按照（i）对称轴t=﹣[﹣1，1]时，（ii）当对称轴t=∈[﹣1，1]两种情况讨论，（i）种情况可分别推得a，b的范围，从而可求得结果；（ii）种情况，由||≤1，△≤0及（*）式可得a2≤8b﹣8b2成立，故问题转化为a2≤8b﹣8b2成立的条件下，求a+b的最大值，把条件配方得：，然后利用三角换元可得答案． |
| 解答： | 解：由题意知：acosx+bcos2x+1 =acosx+b（2cos2x﹣1）+1 =2bcos2x+acosx+1﹣b， 令cosx=t，t∈[﹣1，1]，则当f（t）=2bt2+at+1﹣b≥0时，t∈[﹣1，1]恒成立， ①当b＞1时，f（0）=1﹣b＜0，不满足f（t）=2bt2+at+1﹣b≥0，t∈[﹣1，1]恒成立； ②当0＜b≤1时，则必有⇒⇒|a|≤b+1（*）， （i）当对称轴t=﹣[﹣1，1]时，即||≥1，也即|a|≥4b时，有4b≤|a|≤b+1， 则b，则|a|≤b+1，则a+b， 当a=，b=时，； （ii）当对称轴t=∈[﹣1，1]时，即||≤1，也即|a|≤4b时， 则必有△=a2﹣8b（1﹣b）≤0，即a2≤8b（1﹣b）=8b﹣8b2， 又由（*）知a2≤（b+1）2， 则由于（b+1）2﹣（8b﹣8b2）=9b2﹣6b+1=（3b﹣1）2≥0， 故只需a2≤8b﹣8b2成立即可，问题转化为a2≤8b﹣8b2成立的条件下，求a+b的最大值， 把条件配方得：， 令，（0≤r≤1）， ∴a+b=cosθ+=+≤+≤2， ∴（a+b）max=2． 综上可知（a+b）max=2． |
| 点评： | 本题考查两角和与差的三角函数、正弦函数的值域、函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查三角换元法求函数的最值，综合性强，能力要求高． |
