第一部分  实数理论

§1  实数的完备性公理

一、实数的定义

在集合内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称为实数域或实数空间。

（1）域公理：

（2）全序公理：

（3）连续性公理（Dedekind分割原理）：设的两个子集，满足：

1°

2°

3°

则或中有最大元而中无最小元，或中无最大元而中有最小元。

评注  域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理

实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：

确界原理：

单调有界定理：

区间套定理：

有限覆盖定理：（Heine-Borel）

聚点定理：(Weierstrass)

致密性定理：(Bolzano-Weierstrass)

柯西收敛准则：(Cauchy)

习题1  证明Dedekind分割原理与确界原理的等价性。

习题2  用区间套定理证明有限覆盖定理。

习题3  用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注  以上定理哪些能够推广到欧氏空间？如何叙述？

§2  闭区间上连续函数的性质

有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4

最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8

介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10

一致连续性定理（Cantor定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7

习题4  用有限覆盖定理证明有界性定理

习题5  用致密性定理证明一致连续性定理

§3  数列的上(下)极限

三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）定义

评注  确界定义易于理解；聚点定义易于计算；定义易于理论证明

习题6  用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173）

习题7  证明上面三种定义的等价性。

第二部分  级数理论

§1  数项级数

前言  级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。

一、Cauchy收敛准则

几个概念  部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？

收敛的必要条件  收敛

评注  此结论由两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分即使也不能推出（参见反常积分）

Cauchy收敛准则  收敛有

思考 正面叙述级数发散的Cauchy准则。

加括号  对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

评注  只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。

二、正项级数

正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得：

基本结论  正项级数收敛其部分和有上界。

比较判别法：

比较判别法的极限形式：

评注  对于比较判别法，主要考虑充分大以后（）与的大小关系，因此极限形式更方便。如果，要认识到，当充分大时，与是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当时，存在正常数和使，由此。如果或，它们的“大小”关系如何？

根式判别法  设，当时，收敛；当时，发散。

比式判别法  ，则收敛；

 ，则发散。

习题1  证明上面根式判别法

习题2  证明（）

推论：

评注  由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根式法为力时，比式法一定也为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。

习题3  考虑级数，说明根式法比比式法更有效。

评注  无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数比较的，对于级数必然失效。（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。

积分判别法：

拉贝判别法的极限形式：

习题4  [P17，11（1）]用拉贝法判别级数的收敛性，并说明比式法与根式法都无效。

三、一般项级数

评注  对一般项级数（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对收敛性（即是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判别法得到发散，则必发散（这在前面的评注中已经说过了）。

Leibniz判别法：

Able引理：，是两数组，单调，，则

，其中

对于形如的级数，设单调，把Able引理用于

其中满足：

再结合Cauchy准则，附加适当的条件使能充分小，便可得到Able和Dirichlet判别法

D判别法：（1）单调；（2）；（3）有界，则收敛。

A判别法：（1）单调；（2）有界；（3）收敛，则收敛。

评注  记住A和D判别法的关键是记住Able引理。这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。

习题5  用D判别法直接证明Leibniz判别法和Able判别法。

习题6  讨论级数（）的收敛性。

提示：分，，，情况讨论。

答案：时，收敛，其它发散。

习题7  利用级数收敛性，证明数列的极限存在。（注：此极限称为Euler常数）

提示：把看成某数列的部分和。即，，等价地要证明

收敛，

四、绝对收敛与条件收敛级数的性质

重排定理：设绝对收敛，其和为，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不变。

Riemann定理：设条件收敛，又，则一定存在的重排级数，使其部分和满足：，。

也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。

柯西定理：设和都绝对收敛，，，则对所有乘积项按任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于。

评注  两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即

也称和的柯西乘积。

§2  函数项级数

前言  函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。数列的极限（或数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。

一、函数列（函数项级数）的一致收敛

几个概念  对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？

对于函数项级数如何叙述以上概念？

评注  逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。

思考  正面叙述不一致收敛。

用范数定义一致收敛  记（称为的一致范数或无穷大范数），

如果，则称在上一致收敛于。

评注  就是两个函数的距离。定义的等价性是显然的（见P29，Th13.2）。这个定义往往使用起来更方便（参见P30，例3）。

二、函数项级数一致收敛的判别法

Cauchy准则：

必要条件：一致收敛（一致）

M判别法（控制收敛判别法）：

Able与Dirichlet判别法：

习题8  设，在上一致收敛，证明：

（1）收敛

（2）在上一致收敛。

提示：用Cauchy准则。

评注  第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论。即设，而发散，则在必不一致收敛。

习题9  判别下面级数的一致收敛性

（1），

（2），

（3），

提示：（1）考虑用M判别法（2）考虑用D判别法（3）考虑用A判别法

习题10  （参见P34，例7）若数列单调趋于零，证明级数在内闭一致收敛，举列说明在不一致收敛。

提示：前半部分即书上例题，后半部分例如取，对应用习题8的结论。

三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质

连续性（逐项求极限）：

可积性（逐项求积）：

可微性（逐项求导）：

评注  容易举例说明没有一致收敛的保证，上述三个性质都不能保证。同时，又可举例说明，上述所附加的条件只是充分条件而非必要条件。要记清楚每个定理的条件尤其是可微性的条件。

习题11  证明在连续。

提示：该级数在并不是一致收敛（为什么？），不能直接用连续性定理。但可以证明在上是内闭一致收敛的，这对连续性就够了。

评注  连续性与可微性都是对点而言的，在应用这两个定理时，不必要求在整个区间上一致收敛，只要内闭一致收敛就够了。

习题12  设函数项级数

（1）证明此级数在收敛但不一致收敛。

（2）求此级数的和函数

提示：（1）对于不一致可用习题8的结论，也可证明通项不一致趋于零。建议两种方法都试一试。（2）证明内闭一致收敛，再用逐项微分法。

习题13  求证

（1）

（2）在上一致收敛

（3）

提示：上述3条结论后者要借用前者，每上步的依据一定要说清楚。

评注  该题启示我们：如果在闭区间能直接用逐项积分当然更好，否则先缩小区间在小区间上用，然后再利用连续性把结论扩大到整个区间上。

§3  幂级数

前言  幂级数是最简单同时又有很大应用性的级数，不仅在《数学分析》而且在《复变函数论》中有重要应用。学习的重点是求收敛半径和收敛域；求和函数；幂级数展开。

一、收敛半径

考虑

Cauchy-Hadamard定理  （可以是和）

则上面幂级数在绝对收敛，在发散。

几个概念  收敛半径？收敛区间？收敛域？

习题14  证明Cauchy-Hadamard定理。

二、幂级数的性质

内闭一致敛性  幂级数在其收敛域上内闭一致收敛。也就是说在收敛区间上内闭一致收敛，如果级数在端点的收敛，则内闭区间可扩大到端点。

与分析运算可交换性  和函数在收域内连续；在收敛区间可逐项积分与逐项求导，而且逐项积分与逐项求导后的级数其收敛半径不变。

习题15  （P51，3）证明：设在内收敛，若也收敛，则

评注  这是一个很有用的结论，幂级数通过逐项积分后其收敛域可能扩大到端点。注意这里不要求在收敛。例如，。在是发散的，但逐项积分后在是收敛的，由该结论

，，从而

习题16  求幂级数的收敛域。

（1）（P51，1（8））

（2）（P51，7（1）有所改动）

答案：（1）；（2）

三、幂级数展开

常用的幂数展开

？？？？？？？

欧拉公式  

习题17  求在的幂级数展开

提示：

习题18  （1）求在的幂级数展开

（2）求的和

提示：（1）考虑级数的柯西乘积。（2）利用（1）的结论。

答案：（1）；（2）

第三部分  反常积分

§1  (不含参量的)反常积分

前言：Riemann积分的定义要求积分区间有限，被积函数有界，如果这两有一条不满足，则称为反常积分。不含参量的反常积分大部分内容已经学过，这里再复习一下，它也是含参量反常积分的基础。

一、无穷积分

定义  在有定义，对，在可积

类似地， 

评注  。例如按两种定义结果如何？

绝对收敛与条件收敛  如果对，在可积，且收敛，称为绝对收敛；如果收敛，而不收敛，称为条件收敛。

评注  积分绝对收敛的定义与级数绝对收敛的定义有点不同。对于级数，收敛就称绝对收敛，而对于积分一定要有“对，在可积”这个条件。否则绝对收敛自身不一定收敛，例如：，收敛，但不存在。

以后“对，在可积”这个条件作为默认，不再明确指出。

审敛法

1．柯西准则

2．绝对收敛与条件的关系

3．比较判别法及其极限形式

4．柯西判别法及其极限形式

5．Able与Dirichlet判别法

评注  比较判别法只适于判别正值函数或绝对收敛，而柯西判别法是与积分比较而得到的比较判别法。判别法是借助于积分第二中值定理证明的，而积分第二中值定理我们作为已知结论。对于判别法要理解其证明的思想以例把它平移到含参量的一致收性判别，再与级数的这两个方法比较，它们的本质是差不多的。

常用结论（它们收敛情况如何？）

1．积分  ，

2．，

3．，，

二、瑕积分

请对照无穷积分写出有关定义的结论

评注  瑕积分都可转化为无穷积分

习题1  举例说明：在上的连续函数或， 收敛，

但

习题2  （上册P276，9）在上一致连续， 收敛，则

习题3  （上册P274，例3）讨论，（）的收敛性

习题4  讨论的收敛性

提示 利用上题结论。答案  时绝对收敛；时条件收敛

习题5  讨论的收敛性

答案 时收敛，其它发散

习题6  讨论的收敛性

§2  含参量反常积分

说明  主要以无穷积分为主进行讨论

一、一致收敛

定义

Cauchy准则

M-判别法

Able与Dirichlet判别法

习题7  （P1，1（3））

习题8  （P180，例1）

习题9  （P183，例3）

习题10  （P183，例4）

二、含参量反常积分的性质

连续性

可积性

可微性

习题11  （P1，2）

习题12  （P1，3）

习题13  （P1，4（1）（2）（3））

三、欧拉积分

习题14  证明欧拉积分（两个）在其定义域上内闭一致收敛

习题15  计算下面各题

（1）；（2）；（3）

第四部分  向量函数

§1  欧氏空间

一、欧氏空间

线性空间：首先作为线性空间（向量空间）有如下概念：线性表示（组合），线性相关（线性无关），子空间，基，维数等概念。

欧氏空间：作为欧氏空间有如下概念：内积，正交，范数，距离等概念。注意我们都是使用约定的内积，范数，距离。当然还要了解公理化定义的这三个概念。比如，

（是对称正定矩阵）也是一种内积，而就这个内积导出的范数。

二、点集拓扑

有了距离的概念可导出上的拓扑。搞清下列概念：

邻域：

内点、外点、边界点：（内部，边界）

聚点、孤立点、外点：

开集、闭集：开闭（P93，9）

区域：

有界集、无界集：（直径）

习题1  （P92，3）

习题2  （P313，2）

三、完备性

点列的极限：，如果，，则称的极限是，

Cauchy准则：收敛，有

聚点定理：

有限覆盖定理：

§2  向量函数

一、线性映射（函数）

映射：单射，满射，一一对应，逆映射，复合映射等。它们是如何定义的？

线性映射：（定义是什么？）

的线性映射全体记为，而的线性映射又称线性变换，其全体记为。在中，可定义线性映射的加法、数乘（如何定义的？），使得又成为一个线性空间，还可定义乘法即复合线性映射（如何定义的？）。

线性映射的表示矩阵：在选定与的基之后，就与建立了一一对应关系。设与之对应的矩阵就称为线性映射的表示矩阵。当都选定自然基时，。在这种约定下，线性映射也说成一个矩阵，以后不再写粗体，要注意区分。

算子范数：线性映射也称为算子，在中定义算子范数如下：

可以证明这样定义的算子范数满足：

（1）且

（2）

（3），

（4），

上面算子范数也可看成矩阵范数。有了范数，就成为线性赋范空间。

二、连续函数（映射）

连续和一致连续的定义：

有界闭集上连续函数的性质：P312，Th23.4.5.6

习题3 设是上的实值连续函数，并满足：

（1）；（2），

证明使

提示：单位球面是有界闭集（为什么？），在取到最大值与最小值，记为和。

评注  由该题知，中所有范数（满足三条范数公理）都是等价的。即设与是两种范数，则使。例如对与（这一结论在讨论极值时要用到）。这一结论可推广到有限维线性空间中的范数都是等价的。

习题4  证明是连续函数的充要条件是开集的原象是开集。

评注  在一般拓扑空间中（不需要距离）用后者来定义连续映射。

习题5  证明不动点定理（P340，1）

三、向量函数的微分

可微（可导）的定义：：开，，在的导数是一个的线性变换，它只与有关。在可导的前提下，线性变换在都取自然基时的表示矩阵为的Jacobi矩阵仍记为。我们也可以说导数就是这个矩阵。

复合函数的导数（链式法则）：，则

微分中值不等式：

评注  对于向量函数微分中值定理已不再成立，但有几乎等效的微分中值不等式。

式中是算子范数（也是矩阵范数）

二阶导数（Hesse矩阵）：

极值的必要条件与充分条件：

习题6 设，

求

答案：

习题7 设可微，用复合函数的求导法则证明向量内积的求导公式

提示：设  ，

，

则 

习题8  设是对称正定矩阵，

证明：

习题9  证明极值充分条件（P321，Th32.16，加上不定时，在不取极值）下载本文