班级___________ 姓名__________________ 得分___________
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.)
1．复数z的虚部记作Im（z），若z=，则Im（）=（ ）
A．2 B． 2i C．－2 D．－2i
2．考察以下列命题：①命题“”的否命题为“若”
②若“”为假命题，则p、q均为假命题
③命题p：，使得；则：，均有
④“”是“”的充分不必要条件
则真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在平行六面体中，为与的交点。若，，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．由直线曲线及轴所围图形的面积为 （ ）
A．— B． C． D．
5．已知抛物线上有一点M（4，y），它到焦点F的距离为5，则的面积（O为原点）为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．90°
7．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． 2 C． D．
二、填空题（每小题5分，共15分。请将答案填在答题卷相应空格上。）
8．表示虚数单位，则
9．若命题“∈[1，3]，使a＋（a－2）x－2＞0”为假命题，则实数x的取值范围是
__ _ ___
10．在长方体ABCD-ABCD中，若AB=BC=1，AA=2，则A到直线AC的距离为
三、解答题：（本大题共3小题，共50分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11、（本题满分10分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。
12、（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
13、（本小题满分15分）已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.
（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′()－n2＋1，已知a1＝4，求证：an≥2n＋2.
高中数学选修2-1、2-2综合试题参
1.A2.C3.A4.B5.B6 .D7.C 8.1； 9[－1，2/3]； 10. 5．
11、解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、
COS<>
所以异面直线与所成角的余弦为
（2）设平面的法向量为 则
，则，
故BE和平面的所成角的正弦值为
12．（Ⅰ）解：由， 得.
依题意△是等腰直角三角形，从而，故.
所以椭圆的方程是.
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.
所以，.
若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.
设，则有.
将，代入上式，
整理得，所以.
将，代入上式，整理得.
由于上式对任意实数都成立，所以.
综上，存在定点，使平分.
13、解：(1)因为f(1)＝a－b＝0，所以a＝b，
所以f(x)＝ax－－2lnx，所以f′(x)＝a＋－.
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f′(x)恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，则f′(x)＝－＜0在(0，＋∞)内恒成立；适合题意．
当a＞0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，则a－≥0，解得a≥1；
当a＜0时，由f′(x)＝a＋－＜0恒成立，适合题意．
所以a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．
(2)根据题意得：f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，得a＝1，所以f′(x)＝(－1)2，
于是an＋1＝f′()－n2＋1＝(an－n)2－n2＋1＝a－2nan＋1.
用数学归纳法证明如下：
当n＝1时，a1＝4＝2×1＋2，
当n＝2时，a2＝9＞2×2＋2；
假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式ak＞2k＋2成立，即ak－2k＞2成立，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－2k)＋1＞(2k＋2)×2＋1＝4k＋5＞2(k＋1)＋2，
所以当n＝k＋1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n＋2.下载本文
