一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A＝{x|4x2﹣3x≤0}，B＝{x|y}，则A∩B＝（　　）

A．[0，] B．∅ C．[0，] D．[，]

2．（5分）若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（　　）

A．2人 B．4人 C．5人 D．3人

4．（5分）已知双曲线C与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C．4 D．2

5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值，那么输入的实数x的取值范围是（　　）

A．[﹣1，2] B．[﹣2，1]

C．（﹣∞，1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）

6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝（　　）

A．1 B．1 C． D．1

7．（5分）设{an}是等比数列，若a2＝3，a7＝1，则数列{an}前的积为（　　）

A．56 B．80 C．81 D．128

8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）（单位：cm3）

A．2 B．6 C．10 D．12

9．（5分）设（1+2x+3x2）7＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，则a4+a6+a8+a10+a12+a14＝（　　）

A．129927 B．129962 C．139926 D．139962

10．（5分）若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（　　）

A．﹣4 B． C． D．±

11．（5分）已知若f[（m﹣1）f（x）]﹣2≤0在定义域上恒成立，则m的取值范围是（　　）

A．（0，+∞） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（0，1）

12．（5分）设[x]为不超过x的最大整数，an为[x[x]]（x∈[0，n））可能取到所有值的个数，Sn是数列 前n项的和，则下列结论正确个数的有（　　）

（1）a3＝4

（2）190是数列{an}中的项

（3）

（4）当n＝7时，取最小值

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝1，||＝2，则•　   　．

14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值为　   　．

15．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为　   　．

16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：

三．解答题（共5小题）

17．已知三角形ABC的面积为，A，D在边BC上，∠CAD，BD＝2DC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．求a，b，c．

18．如图所示，在三棱锥S﹣BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4．

（Ⅰ）若SA＝AD，求证：SD⊥CA；

（Ⅱ）若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长．

19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：

方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

方案二：消费者全部选择单选题进行回答；

其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：

（Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75．

（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；

（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．

附：K2，n＝a+b+c+d．

（1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB；

（2）求四边形AMBN的面积的最小值．

21．已知函数f（x）＝ex（aex﹣x﹣a）（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x轴切于原点．

（1）求实数a的值；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（k，k+1），且k∈Z；

（3）在（2）的条件下，求使f（x0）＜m成立的最小整数m的值．

四．解答题（共1小题）

22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求的值．

五．解答题（共1小题）

23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．

（1）求证：a+2b＝1；

（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）

参与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A＝{x|4x2﹣3x≤0}，B＝{x|y}，则A∩B＝（　　）

A．[0，] B．∅ C．[0，] D．[，]

【解答】解：依题意，，，

故．

故选：D．

2．（5分）若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，

∴a＝1+b且2＝b﹣1；

所以：a＝4，b＝3；

∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．

故选：D．

3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（　　）

A．2人 B．4人 C．5人 D．3人

【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取124人．

故选：B．

4．（5分）已知双曲线C与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C．4 D．2

【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程为，（t≠0），

又由双曲线C经过点P（﹣2，），则有2t，则t，

则双曲线的C的方程为，即：1，其焦距c＝2，a，

所以双曲线的离心率为：e2．

故选：D．

5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值，那么输入的实数x的取值范围是（　　）

A．[﹣1，2] B．[﹣2，1]

C．（﹣∞，1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪（2，+∞）

【解答】解：由题意函数f（x）可看成是分段函数，

f（x），

当输出的函数值时，

①f（x）＝2x∈[，2]，x∈[﹣2，2]，

即解2x≤2，

解得﹣2≤x≤1，即x∈[﹣2，1]，

②f（x）＝2时，x∈（﹣∞，2）∪（2，+∞），

由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集，

即x∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）．

故选：D．

6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V＝（　　）

A．1 B．1 C． D．1

【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为1，上部是正四棱锥，高为：，

所以该凸多面体的体积V＝1×1×11．

故选：A．

7．（5分）设{an}是等比数列，若a2＝3，a7＝1，则数列{an}前的积为（　　）

A．56 B．80 C．81 D．128

【解答】解：{an}是等比数列，若a2＝3，a7＝1，

∴1＝3q5．q5．

数列{an}前的积为：a1•a2•a3…a8＝a28q﹣1+0+1+2+3+4+5+6＝38×（）4＝34＝81．

故选：C．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）（单位：cm3）

A．2 B．6 C．10 D．12

【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：

如图所示：

该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体．

故V．

故选：A．

9．（5分）设（1+2x+3x2）7＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，则a4+a6+a8+a10+a12+a14＝（　　）

A．129927 B．129962 C．139926 D．139962

【解答】解：∵（1+2x+3x2）7＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，

令x＝0，a0＝1；令x＝1，即67＝a0+a1+a2+…+a14；

令x＝﹣1，即27＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a14；

两式相加，，

而，

故a4+a6+a8+a10+a12+a14，

故选：C．

10．（5分）若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（　　）

A．﹣4 B． C． D．±

【解答】解：抛物线x＝﹣my2，y2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得||＝2，

解得m＝±，

故选：D．

11．（5分）已知若f[（m﹣1）f（x）]﹣2≤0在定义域上恒成立，则m的取值范围是（　　）

A．（0，+∞） B．[1，2） C．[1，+∞） D．（0，1）

【解答】解：∵，

∴当﹣1＜x＜8时，log3（x+1）∈（﹣∞，2），|log3（x+1）|∈[0，2），

x∈（﹣1，0）时，f（x）＝|log3（x+1）|单调递减，x∈（0，8）时，f（x）单调递增，

且当x时，f（x）＝2①．

当x≥8时，f（x）单调递减且f（x）∈（0，2]②，

其图象如下：

若f[（m﹣1）f（x）]﹣2≤0，

则f[（m﹣1）f（x）]≤2，

∴（m﹣1）f（x），

当f（x）＝0时，m∈R；

当f（x）＞0时，m﹣1，当f（x）→+∞时，→0，

∴m﹣1≥0，

解得：m≥1．

故选：C．

12．（5分）设[x]为不超过x的最大整数，an为[x[x]]（x∈[0，n））可能取到所有值的个数，Sn是数列 前n项的和，则下列结论正确个数的有（　　）

（1）a3＝4

（2）190是数列{an}中的项

（3）

（4）当n＝7时，取最小值

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

【解答】解：an为[x[x]]（x∈[0，n））可能取到所有值的个数，

当n＝1时，[x[x]]＝0，即a1＝1，S12（）；

当n＝2时，[x[x]]＝0，1，即a2＝2，S2＝2（）；

当n＝3时，[x[x]]＝0，1，4，5，即a3＝4，S3＝2（）；

当n＝4时，[x[x]]＝0，1，4，5，9，10，11，即a4＝7，S4＝2（）；

…，可得an＝1+（1+2+3+…+n﹣1）n（n﹣1）+1，

可令an＝190，即n2﹣n﹣378＝0，可得n不为整数，故（1）正确；故（2）错误；

S10＝2（），故（3）正确；

2，由于n（不为自然数），取不到等号，

考虑n＝6时，有3；n＝7时，，

则当n＝7时，取最小值，故（4）正确．

故选：C．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝1，||＝2，则•　　．

【解答】解：因为平面向量，的夹角为，||＝1，||＝2，

∴•||×||×cos1×2，

故答案为：．

14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值为　1　．

【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，

联立，解得A（0，1），

化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，

由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×0+1＝1．

故答案为：1．

15．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M（，3）是图象的一个最高点，N（，0）是图象与x轴的交点，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为　为．　．

【解答】解：依题意，，即T＝4π，

故；

将代入f（x）中，可知，故；

不妨设k＝0，得，故函数；

将函数f（x）的图象压缩为原来的后，得到，

再向右平移个单位，得；

要求函数的增区间，只需．

解得．

故函数g（x）的单调递增区间为．

故答案为：．

16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式：q＝λ1，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3焦耳/（厘米•度），不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10﹣4焦耳/（厘米•度），△T为室内外温度差．q值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：

【解答】解：A型双层玻璃窗户：；

B型双层玻璃窗户：；

C型双层玻璃窗户：；

D型双层窗户：；

根据q＝λ1，且q值越小，保温效果越好，

故答案为：B．

三．解答题（共5小题）

17．已知三角形ABC的面积为，A，D在边BC上，∠CAD，BD＝2DC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．求a，b，c．

【解答】解：依题意，，

∵三角形ABC的面积为，

∴，即，

在△ABD中，由正弦定理有，，

在△ACD中，由正弦定理有，，

又，

∴，

∴，

∴，

∴．

18．如图所示，在三棱锥S﹣BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4．

（Ⅰ）若SA＝AD，求证：SD⊥CA；

（Ⅱ）若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长．

【解答】解：（Ⅰ）∵SA＝AD，△SBD为等边三角形，∴AB⊥SD，

取BD中点O，连结SO，CO，

∵平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4．

∴SO⊥底面BCD，cos30°，解得BC＝2，

∴cos∠BDC，∴∠BDC＝60°，∠DBC＝90°，

∴BC⊥BD，∴BC⊥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，∴BC⊥SD，

∵SD∩BA＝A，∴SD⊥平面ABC，

∵CA⊂平面ABC，∴SD⊥CA．

（Ⅱ）解：．CO，

SC4，

设点B到平面SCD的距离为h，

由VB﹣SDC＝VS﹣BCD，得，

解得h，

∵直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，sinθ，解得BA，

∵BA2＝BD2+AD2﹣2BD•AD•cos60°，

∴，

解得AD或AD．

19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：

方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

方案二：消费者全部选择单选题进行回答；

其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：

（Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75．

（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；

（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．

附：K2，n＝a+b+c+d．

故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关．

（Ⅱ）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，

则，，，，

故X的分布列为：

（ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为，

小明选择方案二获得奖品的概率为，

因为P2＜P1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品．

20．已知动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k（k≠0）的直线m与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．

（1）证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB；

（2）求四边形AMBN的面积的最小值．

【解答】解：（1）∵动圆过定点F（0，1），且与直线l：y＝﹣1相切，

∴动圆圆心到定点F（0，1）和定直线y＝﹣1的距离相等，

∴动圆圆心的轨迹C是以F（0，1）为焦点的抛物线，

∴轨迹C的方程为：x2＝4y，

设，

∵x2＝4y，∴，

∴直线PA的方程为：，即：①，

同理，直线PB的方程为：②，

由①②可得：，

因为过F作斜率为k（k≠0）的直线m，所以直线m方程为：y＝kx+1，

联立可得：x2﹣4kx﹣4＝0，所以，

∴P（2k，﹣1），

∴，

∴点P始终在直线l上且PF⊥AB．

（2）设直线AB的倾斜角为α，由（1）可得：

，

∴，

∴四边形AMBN的面积为：，

当且仅当α＝45°或135°，即k＝±1时取等号，

∴四边形AMBN的面积的最小值为32．

21．已知函数f（x）＝ex（aex﹣x﹣a）（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x轴切于原点．

（1）求实数a的值；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（k，k+1），且k∈Z；

（3）在（2）的条件下，求使f（x0）＜m成立的最小整数m的值．

【解答】解：（1）f（x）＝ex（aex﹣x﹣a），

∴f′（x）＝ex（2aex﹣x﹣a﹣1），

由题意可知，f′（0）＝a﹣1＝0，

所以a＝1，

（2）由（1）可知，f′（x）＝ex（2ex﹣x﹣2），

令g（x）＝2ex﹣x﹣2，则g′（x）＝2ex﹣1，

当x＞﹣ln2时，g′（x）＝2ex﹣1＞0，g（x）单调递增，当x＜﹣ln2时，g′（x）＝2ex﹣1＜0，g（x）单调递减，

故当x＝﹣ln2时g（x）取得最小值g（﹣ln2）＝ln2﹣1＜0，且g（0）＝0，

又x→﹣∞，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）＞0，

故存在x0＜﹣ln2使得g（x0）＝0，

且x＜x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x0＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

故当x＝x0时，函数存在唯一的极大值，

∵g（﹣2）0，g（﹣1）0，

故x0∈（﹣2，﹣1），

故f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（﹣2，﹣1），

（3）由（2）可得，0＝2ex0﹣2，

∴f（x0）＝e（ex0﹣1）＝（1）•（），

结合二次函数的性质可知，x0∈（﹣2，﹣1）时，，

故使得f（x0）＜m成立的最小整数m的值1．

四．解答题（共1小题）

22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求的值．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，

转换为极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ＝4．即．

（2）P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，

设P（ρ1，θ），则Q（），

所以．

五．解答题（共1小题）

23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|的最小值为．

（1）求证：a+2b＝1；

（2）若2a+b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

【解答】解：（1）证明：a＞0，b＞0，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|＝|x|+|x|+|x﹣b|

≥||+|xx+b|＝0+|b|＝b，

当且仅当x＝b时，上式取得等号，可得f（x）的最小值为b，

则b，即a+2b＝1；

（2）若2a+b≥tab恒成立，由a，b＞0，可得t恒成立，

由（a+2b）（）＝55+29，

当且仅当a＝b，上式取得等号，

则t≤9，可得t的最大值为9．下载本文