离心现象及其应用典型例题解析

【例1】如图39－1所示，半径为R的球壳，内壁光滑，当球壳绕竖直方向的中心轴转动时，一个小物体恰好相对静止在球壳内的P点，OP连线与竖直轴夹角为θ．试问：球壳转动的周期多大？

解析：小物体受重力mg和球壳支持力N的作用：重力竖直向下，支持力垂直于球壳的内壁指向球心O，它们的合力沿水平方向指向竖直转轴，大小为mgtanθ；小物体在水平面中做圆周运动，圆半径为r＝Rsinθ，设球壳转动的角速度为ω，则小物体做圆周运动的运动方程为

点拨：(1)相对静止于球壳内P处的小物体作匀速圆周运动的向心力来源于重力mg和球壳对其支持力N的合力．由力的平行四边形定则可确定其合力与分力间的关系．

(2)小物体所受的合外力(即向心力)的方向与向心加速度方向相同，垂直于转轴指向轨道圆心 O′而不是指向球壳的球心O．

【问题讨论】使球壳绕竖直方向的中心轴转动的角速度增大或减小，当小物体仍与球壳相对静止时，这一相对静止点P将在球壳内发生怎样的位置变化？试就该题的计算结果加以讨论．

【例2】试分析说明：为什么“离心沉淀”比“重力沉淀”快．

解析：(1)关于“重力沉淀”：设试管中液体的密度为ρ0，内有密度为ρ(ρ＞ρ0)、体积为△V的某种物质的微小颗粒，则微小颗粒的重力为G＝ρ△Vg，所受浮力为F＝ρ0△Vg，不计液体对微粒的粘滞阻力，微粒下沉的加速度为a＝(G－F)/m＝(ρ△Vg－ρ0△Vg)/ρ△V＝(1－ρ0/ρ)g

(2)关于“离心沉淀”：其装置如图39－2所示．当离心分离机带着试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎处于水平位置如果试管中装着同一种液体，其密度为ρ0，这时试管中与转轴相距r、体积为△V的小液滴绕轴做圆周运动所需的向心力为F＝ρ0△Vω2r．这个向心力肯定是周围的液体对该液滴作用的合力．若该处是体积为△V、密度为ρ(ρ＞ρ0)的某种物质的微粒，它随“离心分离”机高速旋转时所需向心力为F＝ρ△Vω2r．然而周围液体对这个小微粒(指向转动中心)的作用力为F＝ρ0△Vω2r，由于ρ0＜ρ，F＜F′，周围液体对微粒指向圆心的作用力小于微粒所需的向心力，微粒便向管底“下沉”，沉淀加速度为a′＝(ρ△Vω2r－ρ0△Vω2r)/ρ△V＝(1－ρ0/ρ)ω2r(3)比较重力沉淀加速度[a＝(1－ρ0/ρ)g]与离心沉淀加速度[a′＝

快．

假设液体中的物质微粒与转轴间距离r＝0.2 m，离心分离机的转速为3000r/min，则ω＝314rad/s，取g＝9.8m/s2，可得a′/a＝ω2r/g＝(314)2×0.2/9.8≈2000(倍)

可见，离心沉淀比重力沉淀快得多．

高速旋转的离心分离机，能将混在一起的密度不同的物质微粒分离开来，其原理与离心沉淀相似．

【例3】如图39－3所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则

[    ]

A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力

B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大

C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力

D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力

点拨：(1)物体P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供P作匀速圆周运动的向心力；(2)用正交分解法求出物体P分别在水平、竖直两个方向受到的合力ΣFx、ΣFy，由牛顿运动定律布列方程，ΣFx＝mω2r，ΣFy＝0分析讨论即可．

【问题讨论】若竖直杆上的A、B两点间距离与每根细线长度相等，则转动角速度ω在什么范围内，绳子AP中不出现张力？

参

ABC

【例4】将一根质量可以不计，长度为L的细线，一端拴住一个质量为m的小球，另一端固定在天花板的O点．使小球在水平面内以一定大小的线速度作匀速圆周运动，运动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，即组成了圆锥摆．如图39－4．试证明圆锥摆的周期T只与摆球离悬点的高度有关，而与摆球的质量无关．

证明：如图39－4所示，摆球所受的重力mg与细线拉力T的合力提供向心力，该合力的方向指向圆周轨道的圆心，轨道圆半径R＝htanθ①，由牛顿运动定律可得F＝mgtanθ＝m4π2R/T2②解①、②即可

从上述推出的结果可以看出，圆锥摆的周期只与摆球离悬点的高度h有关，而与摆球质量m的大小无关．

点拨：(1)做圆锥摆运动的物体，所受的合外力提供向心力，因而物体处于非平衡状态．(2)圆锥摆周期T与摆线长度L的大小没有直接关系，与摆线和竖直方向夹角θ的大小也没有直接关系，而只与摆球作匀速圆周运动的轨道平面离悬点的高度h＝Lcosθ有关．

【问题讨论】如图39－5所示，两个悬于同一悬点O，且在同一水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆A和B，它们的质量相等，摆线长之比LA∶LB＝3∶2，则两圆锥摆的周期之比TA∶TB为多少？

跟踪反馈

1．以下说法中正确的是

[    ]

A．在绝对光滑的水平冰面上，汽车可以转弯

B．火车转弯速率小于规定的数值时，外轨受的压力会增大

C．飞机在空中沿半径为R的水平圆周旋转时，飞机的翅膀一定处于倾斜状态

D．汽车转弯时需要的向心力是司机转动方向盘所提供的力

2．如图39－6所示，将一根光滑的细金属棒折成V形，顶角为2θ，其对称轴竖直，在其中的一边套上一个金属环p．当V形棒绕其对称轴以每秒n转匀速转动时，小环离轴的距离为

[    ]

A．g·tanθ/(2πn)2

B．g·ctgθ/(2πn)2

C．sinθ/2πn

D．2πn/g·tanθ

3．如图39－7所示，物块m用两根长度相等的细绳系在铅直杆上，当杆旋转时，细绳不可伸长，对物块受力分析，正确的应是

[    ]

A．受重力、绳子的拉力和向心力作用

B．可能受重力、一根绳子的拉力共两个力作用

C．可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用

D．上面一根绳的拉力，总大于物体的重力

4．如图39－8所示，长L的细绳的一端系一小球A，另一端悬于光滑的平面上方h(h＜L)的O点，球在水平面上以nrad/s作匀速圆周运动，水平面受到小球对它的压力多大？使球离开平面，转速n的最小值为多大？

参

[跟踪反馈]  1．C  2．B  3．BCD下载本文